Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 41, 26, 22, 55, 18, 30.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 147,5?

μ = 170σ = 15x = 147,5

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,05, 0,2, 0,25, 0,15

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,2, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 9p = 0,2k = 3

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 29 и 38,3 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 29x₂ = 38,3

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 15% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов15%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 13 элементов имеет среднее 85 и стандартное отклонение s = 6. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 13x̄ = 85s = 695%t(12) = 2,179

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 24. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 24E = 390%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 6. Случайная выборка из 36 наблюдений имеет среднее 501,92. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500. Найдите p-значение p.

μ₀ = 500σ = 6n = 36x̄ = 501,92H₁: μ > μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 22. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 90%δ = 5σ = 22z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (24,5, 97). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(24,5, 97)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,75

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 192/6 = 32

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 9² + (−6)² + (−10)² + 23² + (−14)² + (−2)² = 946

Стандартное отклонение

s = √(946/5) = 13,75

Ответ

s = 13,75

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 2,26

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,25 + 5·0,15 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,25 + 25·0,15 = 10,1

Дисперсия

Var(X) = 10,1 − 2,8² = 2,26

Ответ

Var(X) = 2,26

4.Вероятность

Ответ: P = 0,1762

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 3) = 84·0,2³·0,8⁶ = 84·0,008·0,2621 = 0,1762

Ответ

P = 0,1762

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5446

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (29 − 32)/6 = −0,5

z₂ = (38,3 − 32)/6 = 1,05

Площадь между

P = Φ(1,05) − Φ(−0,5) = 0,8531 − 0,3085 = 0,5446

Ответ

P = 0,5446

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 84,4 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 1,04·15 = 84,4 баллов

Ответ

x = 84,4 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 88,63

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Предельная ошибка

E = 2,179·6/√13 = 3,626

Интервал

85 ± 3,626 → [81,37, 88,63]

Ответ

верхняя граница = 88,63

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 174

Выразите n

n = (1,645·24/3)² = 173,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 174

Ответ

n = 174

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,02743

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 6/√36 = 1

z = (501,92 − 500)/1 = 1,92

Площадь хвоста

Φ(1,92) = 0,9726

1 − Φ(1,92) = 0,0274

p-значение

p = 0,02743

Ответ

p = 0,02743

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 166

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,282)·22/5)² = 165,9

Округлите вверх

n = 166

Ответ

n = 166

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9871

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 98/5 = 19,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 85,2

Коэффициент детерминации

r² = −29²/(10·85,2) = 0,9871

Ответ

r² = 0,9871

Прямая объясняет около 98,71% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,643

Средние

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 507/6 = 84,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 742,5

Линия регрессии

b = 742,5/157,5 = 4,714

a = 84,5 − 4,714·21,5 = −16,86

ŷ = −16,86 + 4,714·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −16,86 + 4,714·24,5 = 98,64

Остаток

e = 97 − 98,64 = −1,643

Ответ

e = −1,643

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1