Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 18, 53, 53, 34, 42, 26.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 60. Найдите z-оценку z для результата 575.

μ = 500σ = 60x = 575

z =

3.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 6

P =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X − 3. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3Y = 5X − 3

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,7330. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,7330

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 67 h, известное стандартное отклонение 12 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 80 h, известное стандартное отклонение 12 h. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 67 hσ₁ = 12 hn₂ = 50x̄₂ = 80 hσ₂ = 12 h95%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 15 участков, средний урожай 83,5 kg, стандартное отклонение 8 kg. Группа участков 2: 16 участков, среднее 95 kg, стандартное отклонение 2 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 83,5s₁ = 8n₂ = 16x̄₂ = 95s₂ = 299%t(29) = 2,756

E = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 100 деталей имеет среднюю длину 87,5 mm, известное стандартное отклонение линии 7 mm. Линия 2: выборка из 50 деталей имеет среднее 93,5 mm, известное стандартное отклонение 17 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 100x̄₁ = 87,5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 93,5 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 23 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 36 из 120 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 36n₂ = 120

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 35?

n = 6ŷ = 35

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,32

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 226/6 = 37,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−19,67)² + 15,33² + 15,33² + (−3,667)² + 4,333² + (−11,67)² = 1025

Стандартное отклонение

s = √(1025/5) = 14,32

Ответ

s = 14,32

2.Описательная статистика

Ответ: z = 1,25

Стандартизуйте

z = (575 − 500)/60 = 1,25

Ответ

z = 1,25

3.Вероятность

Ответ: P = 0,6651

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Ответ

P = 0,6651

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 5,585

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,55, Var(X) = 1,248, σ_X = 1,117

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·1,117 = 5,585

Ответ

σ_Y = 5,585

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·2,55 − 3 = 9,75.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,11

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,7330)/2 = 0,8665

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8665 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,11

Ответ

z = 1,11

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,432 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 67 − 80 = −13

Стандартная ошибка

SE = √(12²/30 + 12²/50) = 2,771

Предельная ошибка

E = 1,96·2,771 = 5,432

Ответ

E = 5,432 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,687 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (14·8² + 15·2²)/29 = 32,97

s_p = 5,742

Предельная ошибка

E = 2,756·5,742·√(1/15 + 1/16) = 5,687

Ответ

E = 5,687 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,396

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(7²/100 + 17²/50) = √6,27 = 2,504

Статистика критерия

z = (87,5 − 93,5)/2,504 = −2,396

Ответ

z = −2,396

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,898

Выборочные доли

p̂₁ = 23/150 = 0,1533

p̂₂ = 36/120 = 0,3

p̂ = 59/270 = 0,2185

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,2185·0,7815·(1/150 + 1/120)) = 0,05061

Статистика критерия

z = (0,1533 − 0,3)/0,05061 = −2,898

Ответ

z = −2,898

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9863

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 106/5 = 21,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 496,8

Коэффициент детерминации

r² = 140²/(40·496,8) = 0,9863

Ответ

r² = 0,9863

Прямая объясняет около 98,63% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 6,229

Средние

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 204/6 = 34

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 24

Линия регрессии

b = 24/17,5 = 1,371

a = 34 − 1,371·5,5 = 26,46

ŷ = 26,46 + 1,371·x

Найдите x

x = (35 − 26,46)/1,371 = 6,229

Ответ

x = 6,229

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1