Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 14, 26, 49, 36, 14, 26, 25.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 164?

μ = 170σ = 12x = 164

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €2. Вы выигрываете €4 с вероятностью 0,3 и €40 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €2€4: p = 0,3€40: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9596. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9596

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 40% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 1,1. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 128 наблюдений?

99%n₁ = 64E₁ = 1,1n₂ = 128

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 20 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 5,1 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 19 2,5 % распределения χ² лежит ниже 8,907 и 2,5 % — выше 32,852.

n = 20s = 5,1 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 117,8 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,8s = 4n = 16

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 2.5. В действительности среднее равно 48.4. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 50μ = 48,4σ = 2,5n = 25α = 0,01

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 35Σy = 439Σx² = 285Σy² = 41127Σxy = 3393

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 75?

n = 6ŷ = 75

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 12,31

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 190/7 = 27,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−13,14)² + (−1,143)² + 21,86² + 8,857² + (−13,14)² + (−1,143)² + (−2,143)² = 908,9

Стандартное отклонение

s = √(908,9/6) = 12,31

Ответ

s = 12,31

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,7

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсия

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Ответ

Var(X) = 0,7

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 1,2 €

Чистые исходы

G: 2 (p = 0,3), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,65)

Математическое ожидание

E(G) = 2·0,3 + 38·0,05 − 2·0,65 = 1,2 €

Ответ

E(G) = 1,2 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,05

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9596)/2 = 0,9798

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9798 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,05

Ответ

z = 2,05

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 510 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,6

z из таблицы

z ≈ 0,25

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 0,25·40 = 510 h

Ответ

x = 510 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 0,7778

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/128) = 0,7071

Новая предельная ошибка

E₂ = 1,1·0,7071 = 0,7778

Ответ

E₂ = 0,7778

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 7,449 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 19·5,1² = 494,2

Границы для σ²

494,2/32,852 = 15,04

494,2/8,907 = 55,48

Граница для σ

σ = √55,48 = 7,449 µm

Ответ

σ = 7,449 µm

95 % интервал для σ: [3,879, 7,449] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Статистика критерия

t = (117,8 − 120)/1 = −2,2

Ответ

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 80,89 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 2,5/√25 = 0,5

x̄_c = 50 − 2,326·0,5 = 48,84

z при истинном среднем

z = (48,84 − 48,4)/0,5 = 0,874

Мощность

мощность = P(Z < 0.874) = 80.89%

1 − β = 80,89%

Ответ

1 − β = 80,89%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9956

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 3393 − 35·439/5 = 320

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 41127 − 439²/5 = 2583

Коэффициент корреляции

r = 320/√(40·2583) = 0,9956

Ответ

r = 0,9956

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5,073

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 522/6 = 87

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 436

Линия регрессии

b = 436/70 = 6,229

a = 87 − 6,229·7 = 43,4

ŷ = 43,4 + 6,229·x

Найдите x

x = (75 − 43,4)/6,229 = 5,073

Ответ

x = 5,073

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1