Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 46, 23, 40, 38.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 40?

μ = 60σ = 20x = 40

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,05, 0,15, 0,25

σ =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,2, 0,35, 0,1, 0,3Y = 0,5X + 4

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 462 и 574 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 462x₂ = 574

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 71 и стандартное отклонение s = 16,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 71s = 16,595%t(6) = 2,447

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 32. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 32E = 290%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 250; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 12. Случайная выборка из 36 наблюдений имеет среднее 253,52. Проверьте H₀: μ = 250 против H₁: μ > 250. Найдите p-значение p.

μ₀ = 250σ = 12n = 36x̄ = 253,52H₁: μ > μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 80 против H₁: μ < 80 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 20. В действительности среднее равно 76.2. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 80μ = 76,2σ = 20n = 100α = 0,05

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 105Σy = 464Σx² = 2245Σy² = 44254Σxy = 9952

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4.

n = 5x = 4

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 8,473

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 183/5 = 36,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−0,6)² + 9,4² + (−13,6)² + 3,4² + 1,4² = 287,2

Стандартное отклонение

s = √(287,2/4) = 8,473

Ответ

s = 8,473

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = −1

Таблица нормального распределения

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,639

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,05 + 3·0,15 + 4·0,25 = 1,75

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,05 + 9·0,15 + 16·0,25 = 5,75

Дисперсия

Var(X) = 5,75 − 1,75² = 2,688

σ = √2,688 = 1,639

Ответ

σ = 1,639

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 0,6205

Разброс X

μ = 3,4, Var(X) = 1,54, σ_X = 1,241

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·1,241 = 0,6205

Ответ

σ_Y = 0,6205

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·3,4 + 4 = 5,7.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7968

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (462 − 500)/40 = −0,95

z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(−0,95) = 0,9678 − 0,1711 = 0,7968

Ответ

P = 0,7968

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8133

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Ответ

P = 0,8133

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 15,26

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Предельная ошибка

E = 2,447·16,5/√7 = 15,26

Ответ

E = 15,26

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 693

Выразите n

n = (1,645·32/2)² = 692,7

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 693

Ответ

n = 693

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,0392

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 12/√36 = 2

z = (253,52 − 250)/2 = 1,76

Площадь хвоста

Φ(1,76) = 0,9608

1 − Φ(1,76) = 0,0392

p-значение

p = 0,0392

Ответ

p = 0,0392

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 60,06 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 80 − 1,645·2 = 76,71

z при истинном среднем

z = (76,71 − 76,2)/2 = 0,255

Мощность

мощность = P(Z < 0.255) = 60.06%

1 − β = 60,06%

Ответ

1 − β = 60,06%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9514

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 9952 − 105·464/5 = 208

S_xx = 2245 − 105²/5 = 40

S_yy = 44254 − 464²/5 = 1195

Коэффициент корреляции

r = 208/√(40·1195) = 0,9514

Ответ

r = 0,9514

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 72,7

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 479/5 = 95,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 308

Линия регрессии

b = 308/40 = 7,7

a = 95,8 − 7,7·7 = 41,9

ŷ = 41,9 + 7,7·x

Прогноз

ŷ = 41,9 + 7,7·4 = 72,7

Ответ

ŷ = 72,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1