Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 16, 38, 52, 11, 48, 26.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 160?

μ = 170σ = 5x = 160

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 15 человек? Порядок не важен.

n = 15k = 2

N =

4.ВероятностьСложная

В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,3, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 11p = 0,3k = 3

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 30,5 и 35 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 35

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 11 элементов имеет среднее 100,5 и стандартное отклонение s = 18. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 100,5s = 1895%t(10) = 2,228

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 16. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 16E = 1,599%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 250; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 48. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 258,56. Проверьте H₀: μ = 250 против H₁: μ > 250. Найдите p-значение p.

μ₀ = 250σ = 48n = 144x̄ = 258,56H₁: μ > μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 80 против H₁: μ > 80 проводится при α = 0,05 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 10. В действительности среднее равно 81,6. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 80μ = 81,6σ = 10n = 100α = 0,05

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 15?

n = 5ŷ = 15

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 16,88

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 191/6 = 31,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−15,83)² + 6,167² + 20,17² + (−20,83)² + 16,17² + (−5,833)² = 1425

Стандартное отклонение

s = √(1425/5) = 16,88

Ответ

s = 16,88

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

3.Вероятность

Ответ: N = 105

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Ответ

N = 105

4.Вероятность

Ответ: P = 0,2568

Формула Бернулли

P(X = 3) = 165·0,3³·0,7⁸ = 165·0,027·0,05765 = 0,2568

Ответ

P = 0,2568

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,2902

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5

Площадь между

P = Φ(0,5) − Φ(−0,25) = 0,6915 − 0,4013 = 0,2902

Ответ

P = 0,2902

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 81,45 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 баллов

Ответ

x = 81,45 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 112,6

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Предельная ошибка

E = 2,228·18/√11 = 12,09

Интервал

100,5 ± 12,09 → [88,41, 112,6]

Ответ

верхняя граница = 112,6

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 756

Выразите n

n = (2,576·16/1,5)² = 755

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 756

Ответ

n = 756

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,01618

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 48/√144 = 4

z = (258,56 − 250)/4 = 2,14

Площадь хвоста

Φ(2,14) = 0,9838

1 − Φ(2,14) = 0,0162

p-значение

p = 0,01618

Ответ

p = 0,01618

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 48,21 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 80 + 1,645·1 = 81,64

z при истинном среднем

z = (81,64 − 81,6)/1 = 0,045

Мощность

мощность = P(Z > 0,045) = 48,21%

1 − β = 48,21%

Ответ

1 − β = 48,21%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9951

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 326/5 = 65,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 494,8

Коэффициент корреляции

r = 140/√(40·494,8) = 0,9951

Ответ

r = 0,9951

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,432

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 83/5 = 16,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

Линия регрессии

b = −37/10 = −3,7

a = 16,6 − (−3,7)·3 = 27,7

ŷ = 27,7 − 3,7·x

Найдите x

x = (15 − 27,7)/(−3,7) = 3,432

Ответ

x = 3,432

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1