Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 19, 40, 50, 35, 50.
n = 5
s =
2.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 50.
μ = 60σ = 10x = 50
z =
3.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 9 человек? Порядок не важен.
n = 9k = 2
N =
4.ВероятностьСложная
Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 5p = 0,4
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 22,4 и 44 min? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 32σ = 6x1 = 22,4x2 = 44
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.
отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 9 элементов имеет среднее 83,5 и стандартное отклонение s = 14,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 9x̄ = 83,5s = 14,595%t(8) = 2,306
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 7 участков, средний урожай 99,5 kg, стандартное отклонение 1 kg. Группа участков 2: 15 участков, среднее 92,5 kg, стандартное отклонение 2 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
n₁ = 7x̄₁ = 99,5s₁ = 1n₂ = 15x̄₂ = 92,5s₂ = 299%t(20) = 2,845
нижняя граница = kg
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 25 студентов имеет средний балл 72,92 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 72,92s = 4n = 25
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 5E = 0,590%
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5Σx = 120Σy = 379Σx² = 2970Σy² = 30179Σxy = 9450
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 12,83
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 194/5 = 38,8
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−19,8)² + 1,2² + 11,2² + (−3,8)² + 11,2² = 658,8
Стандартное отклонение
s = √(658,8/4) = 12,83
Ответ
s = 12,83
2.Описательная статистика
Ответ: z = −1
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (50 − 60)/10 = −1
Ответ
z = −1
3.Вероятность
Ответ: N = 36
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36
Ответ
N = 36
4.Вероятность
Ответ: P = 0,337
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,65 = 0,07776
P(X = 1) = 5·0,4·0,64 = 0,2592
Сложите
P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337
Ответ
P = 0,337
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9225
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (22,4 − 32)/6 = −1,6
z₂ = (44 − 32)/6 = 2
Площадь между
P = Φ(2) − Φ(−1,6) = 0,9772 − 0,0548 = 0,9225
Ответ
P = 0,9225
6.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9633
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79
Вероятность
P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633
Ответ
P = 0,9633
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 72,35
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Предельная ошибка
E = 2,306·14,5/√9 = 11,15
Интервал
83,5 ± 11,15 → [72,35, 94,65]
Ответ
нижняя граница = 72,35
8.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 4,707 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (6·1² + 14·2²)/20 = 3,1
sp = 1,761
Предельная ошибка
E = 2,845·1,761·√(1/7 + 1/15) = 2,293
Интервал
7 ± 2,293 → [4,707, 9,293]
Ответ
нижняя граница = 4,707 kg
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −2,6
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Статистика критерия
t = (72,92 − 75)/0,8 = −2,6
Ответ
t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 271
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,645·5/0,5)² = 270,6
Округлите вверх
n = 271
Ответ
n = 271
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9797
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 9450 − 120·379/5 = 354
Sxx = 2970 − 120²/5 = 90
Syy = 30179 − 379²/5 = 1451
Коэффициент корреляции
r = 354/√(90·1451) = 0,9797
Ответ
r = 0,9797
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 20,17
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 121/6 = 20,17
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32,5
Линия регрессии
b = −32,5/17,5 = −1,857
a = 20,17 − (−1,857)·3,5 = 26,67
ŷ = 26,67 − 1,857·x
Прогноз
ŷ = 26,67 + (−1,857)·3,5 = 20,17
Ответ
ŷ = 20,17
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1