Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 48, 17, 27, 55, 29, 41.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 68.

μ = 60σ = 8x = 68

z =

3.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 2 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 2

P =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €2. Вы выигрываете €10 с вероятностью 0,15 и €40 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €2€10: p = 0,15€40: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 120 mm и стандартным отклонением 0,3 mm; Y независима и нормальна со средним 80 mm и стандартным отклонением 0,4 mm. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 200,5 mm. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,5 mm

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

У 13 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 0,8 и стандартное отклонение 4,1. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 13d̄ = 0,8s_d = 4,199%t(12) = 3,055

E = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 8 участков, средний урожай 41,5 kg, стандартное отклонение 6,5 kg. Группа участков 2: 23 участков, среднее 48 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 41,5s₁ = 6,5n₂ = 23x̄₂ = 48s₂ = 7,595%t(29) = 2,045

верхняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 79 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 79s = 20n = 36

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 49. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 49σ = 5n = 10090%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 188Σx² = 364Σy² = 6960Σxy = 1588

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 46?

n = 6ŷ = 46

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,29

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 217/6 = 36,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 11,83² + (−19,17)² + (−9,167)² + 18,83² + (−7,167)² + 4,833² = 1021

Стандартное отклонение

s = √(1021/5) = 14,29

Ответ

s = 14,29

2.Описательная статистика

Ответ: z = 1

Стандартизуйте

z = (68 − 60)/8 = 1

Ответ

z = 1

3.Вероятность

Ответ: P = 0,3056

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Ответ

P = 0,3056

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,3 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 8 (p = 0,15), 38 (p = 0,02), −2 (p = 0,83)

Математическое ожидание

E(G) = 8·0,15 + 38·0,02 − 2·0,83 = 0,3 €

Ответ

E(G) = 0,3 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (200,5 − 200)/0,5 = 1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8665

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Ответ

P = 0,8665

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,474 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 12, t = 3,055

Предельная ошибка

E = 3,055·4,1/√13 = 3,474

Ответ

E = 3,474 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −0,3966 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (7·6,5² + 22·7,5²)/29 = 52,87

s_p = 7,271

Предельная ошибка

E = 2,045·7,271·√(1/8 + 1/23) = 6,103

Интервал

−6,5 ± 6,103 → [−12,6, −0,3966]

Ответ

верхняя граница = −0,3966 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Статистика критерия

t = (79 − 75)/3,333 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 49,82

Предельная ошибка

E = 1,645·5/√100 = 0,8225

Граница интервала

U = 49 + 0,8225 = 49,82

Ответ

U = 49,82

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9942

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1588 − 42·188/6 = 272

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 6960 − 188²/6 = 1069

Коэффициент корреляции

r = 272/√(70·1069) = 0,9942

Ответ

r = 0,9942

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 18,68

Средние

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 316/6 = 52,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 372

Линия регрессии

b = 372/157,5 = 2,362

a = 52,67 − 2,362·21,5 = 1,886

ŷ = 1,886 + 2,362·x

Найдите x

x = (46 − 1,886)/2,362 = 18,68

Ответ

x = 18,68

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1