Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 53, 11, 58, 35, 29, 59.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 90?

μ = 60σ = 15x = 90

P =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 6 красных и 4 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

6 / 4

P =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,1. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 8p = 0,1

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 55 и 73 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 55x₂ = 73

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 20 элементов имеет среднее 95 и стандартное отклонение s = 1. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 20x̄ = 95s = 199%t(19) = 2,861

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,7 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,05?

p ≈ 0,7E = 0,0590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 9 студентов, средний балл 110, стандартное отклонение 11,5. Группа 2: 5 студентов, средний балл 90, стандартное отклонение 9,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 9x̄₁ = 110s₁ = 11,5n₂ = 5x̄₂ = 90s₂ = 9,5

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 36 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 39 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 80x₂ = 39n₂ = 100

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 366Σx² = 91Σy² = 22626Σxy = 1352

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 19,17

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 245/6 = 40,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 12,17² + (−29,83)² + 17,17² + (−5,833)² + (−11,83)² + 18,17² = 1837

Стандартное отклонение

s = √(1837/5) = 19,17

Ответ

s = 19,17

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

3.Вероятность

Ответ: P = 0,3333

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333

Ответ

P = 0,3333

4.Вероятность

Ответ: P = 0,8131

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,9⁸ = 0,4305

P(X = 1) = 8·0,1·0,9⁷ = 0,3826

Сложите

P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131

Ответ

P = 0,8131

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6295

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (55 − 65)/10 = −1

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

Площадь между

P = Φ(0,8) − Φ(−1) = 0,7881 − 0,1587 = 0,6295

Ответ

P = 0,6295

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 24,31 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Ответ

x = 24,31 min

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 94,36

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Предельная ошибка

E = 2,861·1/√20 = 0,6397

Интервал

95 ± 0,6397 → [94,36, 95,64]

Ответ

нижняя граница = 94,36

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 228

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,7·0,3/0,05² = 227,3

Округлите вверх

n = 228

Ответ

n = 228

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 3,297

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (8·11,5² + 4·9,5²)/12 = 118,3

s_p = 10,87

Стандартная ошибка

SE = 10,87·√(1/9 + 1/5) = 6,065

Статистика критерия

t = (110 − 90)/6,065 = 3,297

Ответ

t = 3,297

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 0,8113

Выборочные доли

p̂₁ = 36/80 = 0,45

p̂₂ = 39/100 = 0,39

p̂ = 75/180 = 0,4167

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,4167·0,5833·(1/80 + 1/100)) = 0,07395

Статистика критерия

z = (0,45 − 0,39)/0,07395 = 0,8113

Ответ

z = 0,8113

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9799

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1352 − 21·366/6 = 71

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 22626 − 366²/6 = 300

Коэффициент корреляции

r = 71/√(17,5·300) = 0,9799

Ответ

r = 0,9799

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 23,85

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 114/5 = 22,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

Линия регрессии

b = −21/10 = −2,1

a = 22,8 − (−2,1)·3 = 29,1

ŷ = 29,1 − 2,1·x

Прогноз

ŷ = 29,1 + (−2,1)·2,5 = 23,85

Ответ

ŷ = 23,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1