Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 44, 28, 24, 29, 44.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 60?

μ = 50σ = 8x = 60

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,2, 0,25, 0,2

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,25

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них меньше 196 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5< 196 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 8,7. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 225 наблюдений?

99%n₁ = 25E₁ = 8,7n₂ = 225

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 5 участков, средний урожай 36,5 kg, стандартное отклонение 1 kg. Группа участков 2: 9 участков, среднее 29,5 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 36,5s₁ = 1n₂ = 9x̄₂ = 29,5s₂ = 7,599%t(12) = 3,055

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 199,2 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,2s = 4n = 81

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 16 измерений имеет среднее 47,7. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 47,7σ = 4n = 1699%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 25.

n = 6x = 25

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 9,497

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 169/5 = 33,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 10,2² + (−5,8)² + (−9,8)² + (−4,8)² + 10,2² = 360,8

Стандартное отклонение

s = √(360,8/4) = 9,497

Ответ

s = 9,497

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1056

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Ответ

P = 0,1056

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 5,24

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 2·0,2 + 4·0,25 + 6·0,2 = 2,6

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,2 + 16·0,25 + 36·0,2 = 12

Дисперсия

Var(X) = 12 − 2,6² = 5,24

Ответ

Var(X) = 5,24

4.Вероятность

Ответ: P = 0,3003

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,75⁹ = 0,07508

P(X = 1) = 9·0,25·0,75⁸ = 0,2253

Сложите

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

Ответ

P = 0,3003

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,06811

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Стандартизуйте

z = (196 − 200)/2,683 = −1,49

Вероятность

P = Φ(−1,49) = 0,06811

Ответ

P = 0,06811

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 551,3 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Ответ

x = 551,26 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 2,9

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(25/225) = 0,3333

Новая предельная ошибка

E₂ = 8,7·0,3333 = 2,9

Ответ

E₂ = 2,9

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −3,481 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (4·1² + 8·7,5²)/12 = 37,83

s_p = 6,151

Предельная ошибка

E = 3,055·6,151·√(1/5 + 1/9) = 10,48

Интервал

7 ± 10,48 → [−3,481, 17,48]

Ответ

нижняя граница = −3,481 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,8

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Статистика критерия

t = (199,2 − 200)/0,4444 = −1,8

Ответ

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 45,12

Предельная ошибка

E = 2,576·4/√16 = 2,576

Граница интервала

L = 47,7 − 2,576 = 45,12

Ответ

L = 45,12

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9741

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 114/6 = 19

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 444

Коэффициент детерминации

r² = 174²/(70·444) = 0,9741

Ответ

r² = 0,9741

Прямая объясняет около 97,41% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 100,6

Средние

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 553/6 = 92,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 295

Линия регрессии

b = 295/70 = 4,214

a = 92,17 − 4,214·23 = −4,762

ŷ = −4,762 + 4,214·x

Прогноз

ŷ = −4,762 + 4,214·25 = 100,6

Ответ

ŷ = 100,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1