Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 12, 46, 57, 32, 10, 51, 31.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 210?

μ = 170σ = 20x = 210

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €5. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,2 и €50 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€20: p = 0,2€50: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,3015. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,3015

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 20% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h20%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 15 и стандартное отклонение s = 6. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 15s = 699%t(8) = 3,355

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 16. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 16E = 199%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 6 студентов, средний балл 39, стандартное отклонение 11. Группа 2: 6 студентов, средний балл 57,6, стандартное отклонение 7. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 6x̄₁ = 39s₁ = 11n₂ = 6x̄₂ = 57,6s₂ = 7

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 200 против H₁: μ < 200 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 2.5. В действительности среднее равно 198.55. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 200μ = 198,55σ = 2,5n = 25α = 0,10

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 11.

n = 6x = 11

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 18,42

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 239/7 = 34,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−22,14)² + 11,86² + 22,86² + (−2,143)² + (−24,14)² + 16,86² + (−3,143)² = 2035

Стандартное отклонение

s = √(2035/6) = 18,42

Ответ

s = 18,42

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,7

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсия

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Ответ

Var(X) = 0,7

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 1,5 €

Чистые исходы

G: 15 (p = 0,2), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,75)

Математическое ожидание

E(G) = 15·0,2 + 45·0,05 − 5·0,75 = 1,5 €

Ответ

E(G) = 1,5 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,52

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,3015 = 0,6985

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,6985 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,52

Ответ

z = 0,52

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 466 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 0,84·40 = 466 h

Ответ

x = 466 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 21,71

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Предельная ошибка

E = 3,355·6/√9 = 6,71

Интервал

15 ± 6,71 → [8,29, 21,71]

Ответ

верхняя граница = 21,71

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1699

Выразите n

n = (2,576·16/1)² = 1699

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1699

Ответ

n = 1699

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,494

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (5·11² + 5·7²)/10 = 85

s_p = 9,22

Стандартная ошибка

SE = 9,22·√(1/6 + 1/6) = 5,323

Статистика критерия

t = (39 − 57,6)/5,323 = −3,494

Ответ

t = −3,494

При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 5,283 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 2,5/√25 = 0,5

x̄_c = 200 − 1,282·0,5 = 199,4

z при истинном среднем

z = (199,4 − 198,55)/0,5 = 1,618

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 1.618) = 94.72%

β = 100% − 94,72% = 5,283%

Ответ

β = 5,283%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9698

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 105/6 = 17,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 177

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 461,5

Коэффициент детерминации

r² = 177²/(70·461,5) = 0,9698

Ответ

r² = 0,9698

Прямая объясняет около 96,98% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 25,34

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 103/6 = 17,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 143

Линия регрессии

b = 143/70 = 2,043

a = 17,17 − 2,043·7 = 2,867

ŷ = 2,867 + 2,043·x

Прогноз

ŷ = 2,867 + 2,043·11 = 25,34

Ответ

ŷ = 25,34

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1