Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 31, 11, 31, 31, 49, 12, 44.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 172?

μ = 170σ = 5x = 172

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,35, 0,2, 0,1

σ =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 11 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 11p = 0,25

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,6517. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6517

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 50,5 h, известное стандартное отклонение 19 h. Модель 2: 30 телефонов, среднее 53 h, известное стандартное отклонение 16 h. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 50,5 hσ₁ = 19 hn₂ = 30x̄₂ = 53 hσ₂ = 16 h95%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 25 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 6 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 24 2,5 % распределения χ² лежит ниже 12,401 и 2,5 % — выше 39,364.

n = 25s = 6 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 497,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,3s = 15n = 25

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 195,7. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 195,7σ = 20n = 4990%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 57?

n = 5ŷ = 57

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,4

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 209/7 = 29,86

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 1,143² + (−18,86)² + 1,143² + 1,143² + 19,14² + (−17,86)² + 14,14² = 1245

Стандартное отклонение

s = √(1245/6) = 14,4

Ответ

s = 14,4

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Ответ

P = 0,6554

3.Вероятность

Ответ: σ = 9,734

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,35 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,1 = 20,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,1 = 515

Дисперсия

Var(X) = 515 − 20,5² = 94,75

σ = √94,75 = 9,734

Ответ

σ = 9,734

4.Вероятность

Ответ: P = 0,1971

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,75¹¹ = 0,04224

P(X = 1) = 11·0,25·0,75¹⁰ = 0,1549

Сложите

P = 0,04224 + 0,1549 = 0,1971

Ответ

P = 0,1971

5.Нормальное распределение

Ответ: z = −0,39

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,6517 = 0,3483

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,3483 внутри таблицы и считайте z.

z = −0,39

Ответ

z = −0,39

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9633

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Ответ

P = 0,9633

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 4,976 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 50,5 − 53 = −2,5

Стандартная ошибка

SE = √(19²/60 + 16²/30) = 3,814

Предельная ошибка

E = 1,96·3,814 = 7,476

Интервал

−2,5 ± 7,476 → [−9,976, 4,976]

Ответ

верхняя граница = 4,976 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 8,347 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 24·6² = 864

Границы для σ²

864/39,364 = 21,95

864/12,401 = 69,67

Граница для σ

σ = √69,67 = 8,347 µm

Ответ

σ = 8,347 µm

95 % интервал для σ: [4,685, 8,347] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Статистика критерия

t = (497,3 − 500)/3 = −0,9

Ответ

t = −0,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 191

Предельная ошибка

E = 1,645·20/√49 = 4,7

Граница интервала

L = 195,7 − 4,7 = 191

Ответ

L = 191

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9802

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 564/6 = 94

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 460

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3084

Коэффициент детерминации

r² = 460²/(70·3084) = 0,9802

Ответ

r² = 0,9802

Прямая объясняет около 98,02% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5,119

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 298/5 = 59,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

Линия регрессии

b = 118/40 = 2,95

a = 59,6 − 2,95·6 = 41,9

ŷ = 41,9 + 2,95·x

Найдите x

x = (57 − 41,9)/2,95 = 5,119

Ответ

x = 5,119

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1