Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 49, 30, 24, 19, 27, 43, 60.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 52?

μ = 60σ = 10x = 52

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,1, 0,25

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3Y = −2X + 20

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,6772. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6772

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 40% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 134 h, известное стандартное отклонение 11 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 125,5 h, известное стандартное отклонение 6 h. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 134 hσ₁ = 11 hn₂ = 100x̄₂ = 125,5 hσ₂ = 6 h95%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 15 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 2,7 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 14 2,5 % распределения χ² лежит ниже 5,629 и 2,5 % — выше 26,119.

n = 15s = 2,7 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 69,22 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 69,22s = 20n = 81

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2,5 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 11. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 2,5σ = 11z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 245Σx² = 55Σy² = 12175Σxy = 771

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,97

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 252/7 = 36

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 13² + (−6)² + (−12)² + (−17)² + (−9)² + 7² + 24² = 1344

Стандартное отклонение

s = √(1344/6) = 14,97

Ответ

s = 14,97

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблица нормального распределения

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,388

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,25 = 1,25

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,25 = 2,95

Дисперсия

Var(X) = 2,95 − 1,25² = 1,388

Ответ

Var(X) = 1,388

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 23,15

Разброс X

μ = 26, Var(X) = 134, σ_X = 11,58

Линейное преобразование

σ_Y = |−2|·11,58 = 23,15

Ответ

σ_Y = 23,15

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·26 + 20 = −32.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = −0,46

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,6772 = 0,3228

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,3228 внутри таблицы и считайте z.

z = −0,46

Ответ

z = −0,46

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 251,3 g

Площадь слева

Φ(z) = 0,6

z из таблицы

z ≈ 0,25

Возврат к исходным единицам

x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g

Ответ

x = 251,3 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,682 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 134 − 125,5 = 8,5

Стандартная ошибка

SE = √(11²/80 + 6²/100) = 1,368

Предельная ошибка

E = 1,96·1,368 = 2,682

Ответ

E = 2,682 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 4,258 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 14·2,7² = 102,1

Границы для σ²

102,1/26,119 = 3,908

102,1/5,629 = 18,13

Граница для σ

σ = √18,13 = 4,258 µm

Ответ

σ = 4,258 µm

95 % интервал для σ: [1,977, 4,258] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,601

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерия

t = (69,22 − 75)/2,222 = −2,601

Ответ

t = −2,601

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 120

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·11/2,5)² = 119,7

Округлите вверх

n = 120

Ответ

n = 120

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,8731

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 771 − 15·245/5 = 36

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 12175 − 245²/5 = 170

Коэффициент корреляции

r = 36/√(10·170) = 0,8731

Ответ

r = 0,8731

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 35,4

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 117/5 = 23,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

Линия регрессии

b = 160/40 = 4

a = 23,4 − 4·6 = −0,6

ŷ = −0,6 + 4·x

Прогноз

ŷ = −0,6 + 4·9 = 35,4

Ответ

ŷ = 35,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1