Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 54, 40, 35, 24, 28.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 68.

μ = 60σ = 8x = 68

z =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 14 человек? Порядок не важен.

n = 14k = 5

N =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,3. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 5p = 0,3

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,4245. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,4245

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 90% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

У 12 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 7,9 и стандартное отклонение 5,9. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 12d̄ = 7,9s_d = 5,990%t(11) = 1,796

нижняя граница = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 9. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 9E = 295%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 6. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 499,27. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ < 500. Найдите p-значение p.

μ₀ = 500σ = 6n = 144x̄ = 499,27H₁: μ < μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500 проводится при α = 0,10 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 30. В действительности среднее равно 504,8. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 500μ = 504,8σ = 30n = 100α = 0,10

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 48Σy = 260Σx² = 454Σy² = 11636Σxy = 2226

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,48

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 217/6 = 36,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−0,1667)² + 17,83² + 3,833² + (−1,167)² + (−12,17)² + (−8,167)² = 548,8

Стандартное отклонение

s = √(548,8/5) = 10,48

Ответ

s = 10,48

2.Описательная статистика

Ответ: z = 1

Стандартизуйте

z = (68 − 60)/8 = 1

Ответ

z = 1

3.Вероятность

Ответ: N = 2002

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(14, 5) = (14·13·12·11·10)/(5·4·3·2·1) = 2002

Ответ

N = 2002

4.Вероятность

Ответ: P = 0,5282

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,7⁵ = 0,1681

P(X = 1) = 5·0,3·0,7⁴ = 0,3601

Сложите

P = 0,1681 + 0,3601 = 0,5282

Ответ

P = 0,5282

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,56

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,4245)/2 = 0,7123

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,7123 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,56

Ответ

z = 0,56

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 169 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 178 − 1,28·7 = 169 cm

Ответ

x = 169 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 4,841 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 11, t = 1,796

Предельная ошибка

E = 1,796·5,9/√12 = 3,059

Интервал

7,9 ± 3,059 → [4,841, 10,96]

Ответ

нижняя граница = 4,841 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 78

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·9/2)² = 77,79

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 78

Ответ

n = 78

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,07215

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5

z = (499,27 − 500)/0,5 = −1,46

Площадь хвоста

Φ(1,46) = 0,9279

1 − Φ(1,46) = 0,0721

p-значение

p = 0,07215

Ответ

p = 0,07215

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 37,52 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 500 + 1,282·3 = 503,8

z при истинном среднем

z = (503,8 − 504,8)/3 = −0,318

Ошибка второго рода

мощность = P(Z > −0,318) = 62,48%

β = 100% − 62,48% = 37,52%

Ответ

β = 37,52%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,908

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 2226 − 48·260/6 = 146

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 11636 − 260²/6 = 369,3

Коэффициент корреляции

r = 146/√(70·369,3) = 0,908

Ответ

r = 0,908

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 22

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 93/5 = 18,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Линия регрессии

b = 136/40 = 3,4

a = 18,6 − 3,4·6 = −1,8

ŷ = −1,8 + 3,4·x

Прогноз

ŷ = −1,8 + 3,4·7 = 22

Ответ

ŷ = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1