Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 16, 48, 19, 19, 59.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 64,8.

μ = 60σ = 12x = 64,8

z =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 11 человек? Порядок не важен.

n = 11k = 2

N =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €3. Вы выигрываете €9 с вероятностью 0,3 и €30 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €3€9: p = 0,3€30: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 111,4 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 80% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов80%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

У 6 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 8,2 и стандартное отклонение 3. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 6d̄ = 8,2s_d = 390%t(5) = 2,015

нижняя граница = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 14 участков, средний урожай 80,5 kg, стандартное отклонение 2,5 kg. Группа участков 2: 7 участков, среднее 72 kg, стандартное отклонение 10 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 14x̄₁ = 80,5s₁ = 2,5n₂ = 7x̄₂ = 72s₂ = 1095%t(19) = 2,093

E = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 50; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 18. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 53,03. Проверьте H₀: μ = 50 против H₁: μ ≠ 50. Найдите p-значение p.

μ₀ = 50σ = 18n = 144x̄ = 53,03H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 70,6. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 70,6σ = 20n = 10090%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 35Σy = 318Σx² = 285Σy² = 20948Σxy = 2394

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 15?

n = 6ŷ = 15

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 19,87

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 161/5 = 32,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−16,2)² + 15,8² + (−13,2)² + (−13,2)² + 26,8² = 1579

Стандартное отклонение

s = √(1579/4) = 19,87

Ответ

s = 19,87

2.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (64,8 − 60)/12 = 0,4

Ответ

z = 0,4

3.Вероятность

Ответ: N = 55

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

Ответ

N = 55

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 1,2 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 6 (p = 0,3), 27 (p = 0,05), −3 (p = 0,65)

Математическое ожидание

E(G) = 6·0,3 + 27·0,05 − 3·0,65 = 1,2 €

Ответ

E(G) = 1,2 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 87,4 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,84·15 = 87,4 баллов

Ответ

x = 87,4 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 5,732 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 5, t = 2,015

Предельная ошибка

E = 2,015·3/√6 = 2,468

Интервал

8,2 ± 2,468 → [5,732, 10,67]

Ответ

нижняя граница = 5,732 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,802 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (13·2,5² + 6·10²)/19 = 35,86

s_p = 5,988

Предельная ошибка

E = 2,093·5,988·√(1/14 + 1/7) = 5,802

Ответ

E = 5,802 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,04338

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5

z = (53,03 − 50)/1,5 = 2,02

Площадь хвоста

Φ(2,02) = 0,9783

1 − Φ(2,02) = 0,0217

p-значение

p = 2·0,0217 = 0,04338

Ответ

p = 0,04338

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 67,31

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·20/√100 = 3,29

Граница интервала

L = 70,6 − 3,29 = 67,31

Ответ

L = 67,31

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9878

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 2394 − 35·318/5 = 168

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 20948 − 318²/5 = 723,2

Коэффициент корреляции

r = 168/√(40·723,2) = 0,9878

Ответ

r = 0,9878

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,186

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 98/6 = 16,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

Линия регрессии

b = −34/17,5 = −1,943

a = 16,33 − (−1,943)·3,5 = 23,13

ŷ = 23,13 − 1,943·x

Найдите x

x = (15 − 23,13)/(−1,943) = 4,186

Ответ

x = 4,186

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1