Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 30, 36, 42, 33, 16, 56.
n = 6
s =
2.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Найдите z-оценку z для результата 524.
μ = 500σ = 40x = 524
z =
3.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 13 человек? Порядок не важен.
n = 13k = 5
N =
4.ВероятностьСложная
Игра стоит €1. Вы выигрываете €2 с вероятностью 0,1 и €50 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €1€2: p = 0,1€50: p = 0,05
E(G) = €
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 462 и 562 h? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 500σ = 40x1 = 462x2 = 562
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
7.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 97 h, известное стандартное отклонение 4 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 87 h, известное стандартное отклонение 20 h. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 97 hσ₁ = 4 hn₂ = 50x̄₂ = 87 hσ₂ = 20 h90%
нижняя граница = h
8.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 16 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 6,1 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 15 2,5 % распределения χ² лежит ниже 6,262 и 2,5 % — выше 27,488.
n = 16s = 6,1 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 51,36 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 51,36s = 8n = 100
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 100 измерений имеет среднее 121,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 121,1σ = 10n = 10090%
U =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 21Σy = 89Σx² = 91Σy² = 1463Σxy = 265
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 23,5.
n = 6x = 23,5
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 13,26
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 213/6 = 35,5
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−5,5)² + 0,5² + 6,5² + (−2,5)² + (−19,5)² + 20,5² = 879,5
Стандартное отклонение
s = √(879,5/5) = 13,26
Ответ
s = 13,26
2.Описательная статистика
Ответ: z = 0,6
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (524 − 500)/40 = 0,6
Ответ
z = 0,6
3.Вероятность
Ответ: N = 1287
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
Ответ
N = 1287
4.Вероятность
Ответ: E(G) = 1,7 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 1 (p = 0,1), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,85)
Математическое ожидание
E(G) = 1·0,1 + 49·0,05 − 1·0,85 = 1,7 €
Ответ
E(G) = 1,7 €
Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,7684
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (462 − 500)/40 = −0,95
z₂ = (562 − 500)/40 = 1,55
Площадь между
P = Φ(1,55) − Φ(−0,95) = 0,9394 − 0,1711 = 0,7684
Ответ
P = 0,7684
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 166,5 cm
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Обратно к x
x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm
Ответ
x = 166,49 cm
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 5,255 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 97 − 87 = 10
Стандартная ошибка
SE = √(4²/50 + 20²/50) = 2,884
Предельная ошибка
E = 1,645·2,884 = 4,745
Интервал
10 ± 4,745 → [5,255, 14,74]
Ответ
нижняя граница = 5,255 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
8.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 9,441 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 15·6,1² = 558,1
Границы для σ²
558,1/27,488 = 20,31
558,1/6,262 = 89,13
Граница для σ
σ = √89,13 = 9,441 µm
Ответ
σ = 9,441 µm
95 % интервал для σ: [4,506, 9,441] µm.
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,7
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Статистика критерия
t = (51,36 − 50)/0,8 = 1,7
Ответ
t = 1,7
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 122,7
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,645·10/√100 = 1,645
Граница интервала
U = 121,1 + 1,645 = 122,7
Ответ
U = 122,7
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9301
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 265 − 21·89/6 = −46,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1463 − 89²/6 = 142,8
Коэффициент корреляции
r = −46,5/√(17,5·142,8) = −0,9301
Ответ
r = −0,9301
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 121,3
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 728/6 = 121,3
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 846
Линия регрессии
b = 846/157,5 = 5,371
a = 121,3 − 5,371·23,5 = −4,895
ŷ = −4,895 + 5,371·x
Прогноз
ŷ = −4,895 + 5,371·23,5 = 121,3
Ответ
ŷ = 121,3
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1