Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 28, 10, 43, 59, 23.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений больше 76?

μ = 100σ = 20x = 76

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,2, 0,2, 0,1, 0,35

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,25Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 250,25 и 254,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 250,25x₂ = 254,25

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 135,5 h, известное стандартное отклонение 8 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 122,5 h, известное стандартное отклонение 5 h. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 135,5 hσ₁ = 8 hn₂ = 50x̄₂ = 122,5 hσ₂ = 5 h99%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 5 участков, средний урожай 99,5 kg, стандартное отклонение 5 kg. Группа участков 2: 21 участков, среднее 96,5 kg, стандартное отклонение 9 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 99,5s₁ = 5n₂ = 21x̄₂ = 96,5s₂ = 995%t(24) = 2,064

E = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 54,35 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54,35s = 12n = 64

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 5E = 290%

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (2,5, 50). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 50)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 18,9

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 163/5 = 32,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−4,6)² + (−22,6)² + 10,4² + 26,4² + (−9,6)² = 1429

Стандартное отклонение

s = √(1429/4) = 18,9

Ответ

s = 18,9

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 2,21

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,15 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,1 + 5·0,35 = 3,3

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,1 + 25·0,35 = 13,1

Дисперсия

Var(X) = 13,1 − 3,3² = 2,21

Ответ

Var(X) = 2,21

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 0,5585

Разброс X

μ = 1,55, Var(X) = 1,247, σ_X = 1,117

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·1,117 = 0,5585

Ответ

σ_Y = 0,5585

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·1,55 + 20 = 20,77.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,2824

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (250,25 − 250)/5 = 0,05

z₂ = (254,25 − 250)/5 = 0,85

Площадь между

P = Φ(0,85) − Φ(0,05) = 0,8023 − 0,5199 = 0,2824

Ответ

P = 0,2824

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 134,9 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 баллов

Ответ

x = 134,89 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,733 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 135,5 − 122,5 = 13

Стандартная ошибка

SE = √(8²/40 + 5²/50) = 1,449

Предельная ошибка

E = 2,576·1,449 = 3,733

Ответ

E = 3,733 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: E = 8,695 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (4·5² + 20·9²)/24 = 71,67

s_p = 8,466

Предельная ошибка

E = 2,064·8,466·√(1/5 + 1/21) = 8,695

Ответ

E = 8,695 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Статистика критерия

t = (54,35 − 50)/1,5 = 2,9

Ответ

t = 2,9

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 17

Выразите n

n = (1,645·5/2)² = 16,91

Округлите вверх

n = 17

Ответ

n = 17

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9821

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 48/5 = 9,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 87,2

Коэффициент корреляции

r = 58/√(40·87,2) = 0,9821

Ответ

r = 0,9821

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,65

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 317/5 = 63,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65

Линия регрессии

b = 65/10 = 6,5

a = 63,4 − 6,5·4 = 37,4

ŷ = 37,4 + 6,5·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 37,4 + 6,5·2,5 = 53,65

Остаток

e = 50 − 53,65 = −3,65

Ответ

e = −3,65

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1