Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 45, 54, 53, 20, 13.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 80?

μ = 60σ = 10x = 80

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 7 человек? Порядок не важен.

n = 7k = 4

N =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €3. Вы выигрываете €9 с вероятностью 0,15 и €150 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €3€9: p = 0,15€150: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 111,4 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 5% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов5%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 элементов имеет среднее 55 и стандартное отклонение s = 18,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 25x̄ = 55s = 18,590%t(24) = 1,711

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 4,5 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.

n = 21s = 4,5 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 36. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 495,92. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ ≠ 500. Найдите p-значение p.

μ₀ = 500σ = 36n = 144x̄ = 495,92H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500 проводится при α = 0,05 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 16. В действительности среднее равно 504,2. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 500μ = 504,2σ = 16n = 64α = 0,05

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 209Σx² = 220Σy² = 9019Σxy = 1356

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 19?

n = 6ŷ = 19

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 19,2

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 185/5 = 37

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 8² + 17² + 16² + (−17)² + (−24)² = 1474

Стандартное отклонение

s = √(1474/4) = 19,2

Ответ

s = 19,2

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

3.Вероятность

Ответ: N = 35

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

Ответ

N = 35

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 5,85 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 6 (p = 0,15), 147 (p = 0,05), −3 (p = 0,8)

Математическое ожидание

E(G) = 6·0,15 + 147·0,05 − 3·0,8 = 5,85 €

Ответ

E(G) = 5,85 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 75,4 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,05

z из таблицы

z ≈ −1,64

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 1,64·15 = 75,4 баллов

Ответ

x = 75,4 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 48,67

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Предельная ошибка

E = 1,711·18,5/√25 = 6,331

Интервал

55 ± 6,331 → [48,67, 61,33]

Ответ

нижняя граница = 48,67

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 3,443 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 20·4,5² = 405

Границы для σ²

405/34,17 = 11,85

405/9,591 = 42,23

Граница для σ

σ = √11,85 = 3,443 µm

Ответ

σ = 3,443 µm

95 % интервал для σ: [3,443, 6,498] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1738

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 36/√144 = 3

z = (495,92 − 500)/3 = −1,36

Площадь хвоста

Φ(1,36) = 0,9131

1 − Φ(1,36) = 0,0869

p-значение

p = 2·0,0869 = 0,1738

Ответ

p = 0,1738

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 32,46 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 500 + 1,645·2 = 503,3

z при истинном среднем

z = (503,3 − 504,2)/2 = −0,455

Ошибка второго рода

мощность = P(Z > −0,455) = 67,54%

β = 100% − 67,54% = 32,46%

Ответ

β = 32,46%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,959

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1356 − 30·209/5 = 102

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 9019 − 209²/5 = 282,8

Коэффициент корреляции

r = 102/√(40·282,8) = 0,959

Ответ

r = 0,959

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,401

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 101/6 = 16,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34,5

Линия регрессии

b = −34,5/17,5 = −1,971

a = 16,83 − (−1,971)·3,5 = 23,73

ŷ = 23,73 − 1,971·x

Найдите x

x = (19 − 23,73)/(−1,971) = 2,401

Ответ

x = 2,401

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1