Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 34, 34, 56, 59, 21, 19, 58.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 146.

μ = 170σ = 12x = 146

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,2

σ =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,7. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 5p = 0,7

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 6 из них меньше 73 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 73 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 103 h, известное стандартное отклонение 19 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 92,5 h, известное стандартное отклонение 5 h. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 103 hσ₁ = 19 hn₂ = 100x̄₂ = 92,5 hσ₂ = 5 h90%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 7 участков, средний урожай 25,5 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Группа участков 2: 15 участков, среднее 29 kg, стандартное отклонение 6 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 25,5s₁ = 9,5n₂ = 15x̄₂ = 29s₂ = 695%t(20) = 2,086

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 50,94 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 50,94s = 5n = 81

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 200 против H₁: μ < 200 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 192.5. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 200μ = 192,5σ = 15n = 36α = 0,05

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 124?

n = 6ŷ = 124

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,39

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 281/7 = 40,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−6,143)² + (−6,143)² + 15,86² + 18,86² + (−19,14)² + (−21,14)² + 17,86² = 1815

Стандартное отклонение

s = √(1815/6) = 17,39

Ответ

s = 17,39

2.Описательная статистика

Ответ: z = −2

Стандартизуйте

z = (146 − 170)/12 = −2

Ответ

z = −2

3.Вероятность

Ответ: σ = 2,047

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,25 + 6·0,2 = 2,9

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,25 + 36·0,2 = 12,6

Дисперсия

Var(X) = 12,6 − 2,9² = 4,19

σ = √4,19 = 2,047

Ответ

σ = 2,047

4.Вероятность

Ответ: P = 0,03078

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,3⁵ = 0,00243

P(X = 1) = 5·0,7·0,3⁴ = 0,02835

Сложите

P = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078

Ответ

P = 0,03078

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,695

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 72 kg, σ_T = 0,8·√6 = 1,96 kg

Стандартизуйте

z = (73 − 72)/1,96 = 0,51

Вероятность

P = Φ(0,51) = 0,695

Ответ

P = 0,695

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 246,6 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Ответ

x = 246,63 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,496 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 103 − 92,5 = 10,5

Стандартная ошибка

SE = √(19²/50 + 5²/100) = 2,733

Предельная ошибка

E = 1,645·2,733 = 4,496

Ответ

E = 4,496 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −10,4 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (6·9,5² + 14·6²)/20 = 52,27

s_p = 7,23

Предельная ошибка

E = 2,086·7,23·√(1/7 + 1/15) = 6,904

Интервал

−3,5 ± 6,904 → [−10,4, 3,404]

Ответ

нижняя граница = −10,4 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,692

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Статистика критерия

t = (50,94 − 50)/0,5556 = 1,692

Ответ

t = 1,692

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 91,23 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 200 − 1,645·2,5 = 195,9

z при истинном среднем

z = (195,9 − 192,5)/2,5 = 1,355

Мощность

мощность = P(Z < 1.355) = 91.23%

1 − β = 91,23%

Ответ

1 − β = 91,23%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9944

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 98/5 = 19,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 53,2

Коэффициент детерминации

r² = −23²/(10·53,2) = 0,9944

Ответ

r² = 0,9944

Прямая объясняет около 99,44% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 25,07

Средние

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 667/6 = 111,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 433

Линия регрессии

b = 433/70 = 6,186

a = 111,2 − 6,186·23 = −31,1

ŷ = −31,1 + 6,186·x

Найдите x

x = (124 − (−31,1))/6,186 = 25,07

Ответ

x = 25,07

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1