Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 50, 54, 50, 47, 34, 12, 11.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений больше 90?
μ = 50σ = 20x = 90
P =
3.ВероятностьСредняя
В мешочке 8 красных и 6 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
8 / 6
P =
4.ВероятностьСложная
В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?
n = 11p = 0,7k = 4
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8444. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,8444
z =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).
μ = 32σ = 6P = 10%
x = min
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 13 элементов имеет среднее 32,5 и стандартное отклонение s = 13,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 13x̄ = 32,5s = 13,595%t(12) = 2,179
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 27. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?
σ = 27E = 499%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 81 студентов имеет средний балл 73,04 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 73,04s = 8n = 81
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ < 500 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 495.75. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 500μ = 495,75σ = 15n = 36α = 0,01
β = %
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 6
r² =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 17?
n = 6ŷ = 17
x =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 18,42
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 258/7 = 36,86
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 13,14² + 17,14² + 13,14² + 10,14² + (−2,857)² + (−24,86)² + (−25,86)² = 2037
Стандартное отклонение
s = √(2037/6) = 18,42
Ответ
s = 18,42
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,02275
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 2
Таблица нормального распределения
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Ответ
P = 0,02275
3.Вероятность
Ответ: P = 0,3077
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0,3077
Ответ
P = 0,3077
4.Вероятность
Ответ: P = 0,01733
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 4) = 330·0,74·0,37 = 330·0,2401·0,0002187 = 0,01733
Ответ
P = 0,01733
5.Нормальное распределение
Ответ: z = 1,42
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,8444)/2 = 0,9222
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,9222 внутри таблицы и считайте z.
z = 1,42
Ответ
z = 1,42
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 24,31 min
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Обратно к x
x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min
Ответ
x = 24,31 min
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 24,34
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Предельная ошибка
E = 2,179·13,5/√13 = 8,159
Интервал
32,5 ± 8,159 → [24,34, 40,66]
Ответ
нижняя граница = 24,34
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 303
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·27/4)² = 302,3
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 303
Ответ
n = 303
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −2,205
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889
Статистика критерия
t = (73,04 − 75)/0,8889 = −2,205
Ответ
t = −2,205
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 73,43 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 500 − 2,326·2,5 = 494,2
z при истинном среднем
z = (494,2 − 495,75)/2,5 = −0,626
Ошибка второго рода
мощность = P(Z < −0.626) = 26.57%
β = 100% − 26,57% = 73,43%
Ответ
β = 73,43%
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,8785
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 301/6 = 50,17
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 52,83
Коэффициент детерминации
r² = 28,5²/(17,5·52,83) = 0,8785
Ответ
r² = 0,8785
Прямая объясняет около 87,85% вариации y.
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 3,865
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 108/6 = 18
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48
Линия регрессии
b = −48/17,5 = −2,743
a = 18 − (−2,743)·3,5 = 27,6
ŷ = 27,6 − 2,743·x
Найдите x
x = (17 − 27,6)/(−2,743) = 3,865
Ответ
x = 3,865
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1