Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 21, 42, 16, 42, 32, 26, 37.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 182.
μ = 170σ = 8x = 182
z =
3.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,3, 0,3, 0,35
σ =
4.ВероятностьСложная
В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?
n = 5p = 0,4k = 4
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 49,5 и 77,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 65σ = 10x1 = 49,5x2 = 77,5
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 95% были слева от неё. Найдите границу x.
μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 элементов имеет среднее 60 и стандартное отклонение s = 18,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 16x̄ = 60s = 18,595%t(15) = 2,131
E =
8.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 20 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 1,7 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 19 2,5 % распределения χ² лежит ниже 8,907 и 2,5 % — выше 32,852.
n = 20s = 1,7 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 студентов имеет средний балл 502,9 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,9s = 4n = 16
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1,5? Стандартное отклонение — 15. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 15E = 1,595%
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 120Σy = 591Σx² = 2470Σy² = 59955Σxy = 12161
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 10,24
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 216/7 = 30,86
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−9,857)² + 11,14² + (−14,86)² + 11,14² + 1,143² + (−4,857)² + 6,143² = 628,9
Стандартное отклонение
s = √(628,9/6) = 10,24
Ответ
s = 10,24
2.Описательная статистика
Ответ: z = 1,5
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (182 − 170)/8 = 1,5
Ответ
z = 1,5
3.Вероятность
Ответ: σ = 0,9206
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,35 = 1,95
Среднее квадратов
E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,35 = 4,65
Дисперсия
Var(X) = 4,65 − 1,95² = 0,8475
σ = √0,8475 = 0,9206
Ответ
σ = 0,9206
4.Вероятность
Ответ: P = 0,0768
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 4) = 5·0,44·0,61 = 5·0,0256·0,6 = 0,0768
Ответ
P = 0,0768
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8338
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (49,5 − 65)/10 = −1,55
z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25
Площадь между
P = Φ(1,25) − Φ(−1,55) = 0,8944 − 0,06057 = 0,8338
Ответ
P = 0,8338
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 566 h
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,95
z из таблицы
z ≈ 1,64
Возврат к исходным единицам
x = 500 + 1,64·40 = 566 h
Ответ
x = 566 h
7.Доверительные интервалы
Ответ: E = 9,856
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Предельная ошибка
E = 2,131·18,5/√16 = 9,856
Ответ
E = 9,856
8.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 2,483 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 19·1,7² = 54,91
Границы для σ²
54,91/32,852 = 1,671
54,91/8,907 = 6,165
Граница для σ
σ = √6,165 = 2,483 µm
Ответ
σ = 2,483 µm
95 % интервал для σ: [1,293, 2,483] µm.
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,9
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Статистика критерия
t = (502,9 − 500)/1 = 2,9
Ответ
t = 2,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 385
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,96·15/1,5)² = 384,2
Округлите вверх
n = 385
Ответ
n = 385
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9767
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 12161 − 120·591/6 = 341
Sxx = 2470 − 120²/6 = 70
Syy = 59955 − 591²/6 = 1742
Коэффициент корреляции
r = 341/√(70·1742) = 0,9767
Ответ
r = 0,9767
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 43,95
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 281/6 = 46,83
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50,5
Линия регрессии
b = 50,5/17,5 = 2,886
a = 46,83 − 2,886·4,5 = 33,85
ŷ = 33,85 + 2,886·x
Прогноз
ŷ = 33,85 + 2,886·3,5 = 43,95
Ответ
ŷ = 43,95
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1