Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 57, 42, 16, 38, 32, 12.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 92,5?

μ = 70σ = 15x = 92,5

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,1, 0,15, 0,35

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €4 с вероятностью 0,25 и €20 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€4: p = 0,25€20: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,7813. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,7813

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 8 элементов имеет среднее 11,5 и стандартное отклонение s = 5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 8x̄ = 11,5s = 590%t(7) = 1,895

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 37. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 37E = 2,595%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 97,11 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,11s = 10n = 81

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 74,6. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 74,6σ = 10n = 10099%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 317Σx² = 91Σy² = 17151Σxy = 1189

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 50?

n = 6ŷ = 50

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 16,81

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 197/6 = 32,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 24,17² + 9,167² + (−16,83)² + 5,167² + (−0,8333)² + (−20,83)² = 1413

Стандартное отклонение

s = √(1413/5) = 16,81

Ответ

s = 16,81

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,94

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,05 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,15 + 4·0,35 = 2,4

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,15 + 16·0,35 = 7,7

Дисперсия

Var(X) = 7,7 − 2,4² = 1,94

Ответ

Var(X) = 1,94

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,2 €

Чистые исходы

G: 3 (p = 0,25), 19 (p = 0,01), −1 (p = 0,74)

Математическое ожидание

E(G) = 3·0,25 + 19·0,01 − 1·0,74 = 0,2 €

Ответ

E(G) = 0,2 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,23

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,7813)/2 = 0,8907

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8907 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,23

Ответ

z = 1,23

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 8,15

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Предельная ошибка

E = 1,895·5/√8 = 3,35

Интервал

11,5 ± 3,35 → [8,15, 14,85]

Ответ

нижняя граница = 8,15

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 842

Выразите n

n = (1,96·37/2,5)² = 841,5

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 842

Ответ

n = 842

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,601

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Статистика критерия

t = (97,11 − 100)/1,111 = −2,601

Ответ

t = −2,601

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 72,02

Предельная ошибка

E = 2,576·10/√100 = 2,576

Граница интервала

L = 74,6 − 2,576 = 72,02

Ответ

L = 72,02

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9469

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1189 − 21·317/6 = 79,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 17151 − 317²/6 = 402,8

Коэффициент корреляции

r = 79,5/√(17,5·402,8) = 0,9469

Ответ

r = 0,9469

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,923

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 430/6 = 71,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 372

Линия регрессии

b = 372/70 = 5,314

a = 71,67 − 5,314·7 = 34,47

ŷ = 34,47 + 5,314·x

Найдите x

x = (50 − 34,47)/5,314 = 2,923

Ответ

x = 2,923

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1