Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
−3−2−10123zзакрашенная площадь между −z и z = 0,9729

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9729. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9729
z =
2.Нормальное распределениеСложная
4 s0X − Y?

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
3.Доверительные интервалыСредняя
n = 13, s = 9,5LU = ?x̄ = 102,5E90%

Выборка из 13 элементов имеет среднее 102,5 и стандартное отклонение s = 9,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 13x̄ = 102,5s = 9,590%t(12) = 1,782
верхняя граница =
4.Доверительные интервалыСложная
μ₁ − μ₂, t(24) = 2,7970LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 18 участков, средний урожай 63 kg, стандартное отклонение 3 kg. Группа участков 2: 8 участков, среднее 56,5 kg, стандартное отклонение 5,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 18x̄₁ = 63s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 56,5s₂ = 5,599%t(24) = 2,797
E = kg
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −2,06402,064

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 114,4 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 114,4s = 20n = 25
t =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,590%

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 10. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 10E = 0,590%
n =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy2641562183010351243xy5102040

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6
r² =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy1560187321942411927131xy152025100x = 22,5

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (22,5, 103). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(22,5, 103)
e =
9.Критерии хи-квадратСредняя
низкийсреднийвысокийИтогогород304030100село10163460Итого405664160

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 3
χ² =
10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 4 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 4
df =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,21

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9729)/2 = 0,9864

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9864 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,21

Ответ

z = 2,21
2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881
3.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 107,2

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Предельная ошибка

E = 1,782·9,5/√13 = 4,695

Интервал

102,5 ± 4,695 → [97,8, 107,2]

Ответ

верхняя граница = 107,2
4.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,633 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

sp² = (17·3² + 7·5,5²)/24 = 15,2
sp = 3,898

Предельная ошибка

E = 2,797·3,898·√(1/18 + 1/8) = 4,633

Ответ

E = 4,633 kg
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Статистика критерия

t = (114,4 − 120)/4 = −1,4

Ответ

t = −1,4
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 1083

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·10/0,5)² = 1082

Округлите вверх

n = 1083

Ответ

n = 1083
7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9953

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 150/6 = 25

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254
Syy = Σ(y − ȳ)² = 926

Коэффициент детерминации

r² = 254²/(70·926) = 0,9953

Ответ

r² = 0,9953

Прямая объясняет около 99,53% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,8

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 477/5 = 95,4

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 564

Линия регрессии

b = 564/90 = 6,267
a = 95,4 − 6,267·21 = −36,2
ŷ = −36,2 + 6,267·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −36,2 + 6,267·22,5 = 104,8

Остаток

e = 103 − 104,8 = −1,8

Ответ

e = −1,8

Точка лежит ниже прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 11,24

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 100·40/160 = 25, 100·56/160 = 35, 100·64/160 = 40
село: 60·40/160 = 15, 60·56/160 = 21, 60·64/160 = 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (30 − 25)²/25 + (40 − 35)²/35 + (30 − 40)²/40 + (10 − 15)²/15 + (16 − 21)²/21 + (34 − 24)²/24
χ² = 11,24

Ответ

χ² = 11,24

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 3

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 4 − 1 = 3

Ответ

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference