Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
108 kg112,8 kgT = X₁ + … + X₉?

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них меньше 112,8 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9< 112.8 kg
P =
2.Нормальное распределениеСложная
0,04 mm0D − d?

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
3.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 134 h, известное стандартное отклонение 14 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 137,5 h, известное стандартное отклонение 4 h. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 134 hσ₁ = 14 hn₂ = 80x̄₂ = 137,5 hσ₂ = 4 h99%
E = h
4.Доверительные интервалыСложная
μ₁ − μ₂, t(15) = 2,9470LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 7 участков, средний урожай 32,5 kg, стандартное отклонение 7 kg. Группа участков 2: 10 участков, среднее 29,5 kg, стандартное отклонение 10 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 32,5s₁ = 7n₂ = 10x̄₂ = 29,5s₂ = 1099%t(15) = 2,947
верхняя граница = kg
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −2,06402,064

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 102,8 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 102,8s = 20n = 25
t =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2,5α = 0,05βσ = 17, мощность 90%, n = ?

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2,5 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 17. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 90%δ = 2,5σ = 17zα = 1,645zβ = 1,282
n =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy274861381810231226xy5101020

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6
r =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy130228324420519616xy24615202530x = 2,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (2,5, 29). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 29)
e =
9.Критерии хи-квадратСредняя
автобусвелосипедавтомобильИтогостуденты13264180сотрудники15162960Итого284270140

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 3
χ² =
10.Критерии хи-квадратСложная
данетИтоговозраст 18–308713100возраст 31–5038240возраст 51+6733100Итого19248240dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2403 × 2α = 0,05
χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9772

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μT = 108 kg, σT = 0,8·√9 = 2,4 kg

Стандартизуйте

z = (112,8 − 108)/2,4 = 2

Вероятность

P = Φ(2) = 0,9772

Ответ

P = 0,9772
2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9452

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Ответ

P = 0,9452
3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,684 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 134 − 137,5 = −3,5

Стандартная ошибка

SE = √(14²/30 + 4²/80) = 2,595

Предельная ошибка

E = 2,576·2,595 = 6,684

Ответ

E = 6,684 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

4.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 15,96 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

sp² = (6·7² + 9·10²)/15 = 79,6
sp = 8,922

Предельная ошибка

E = 2,947·8,922·√(1/7 + 1/10) = 12,96

Интервал

3 ± 12,96 → [−9,957, 15,96]

Ответ

верхняя граница = 15,96 kg
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 0,7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Статистика критерия

t = (102,8 − 100)/4 = 0,7

Ответ

t = 0,7
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 397

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,282)·17/2,5)² = 396,2

Округлите вверх

n = 397

Ответ

n = 397
7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9894

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 95/6 = 15,83

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 145
Syy = Σ(y − ȳ)² = 306,8

Коэффициент корреляции

r = 145/√(70·306,8) = 0,9894

Ответ

r = 0,9894
8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,281

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 137/6 = 22,83

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50,5

Линия регрессии

b = −50,5/17,5 = −2,886
a = 22,83 − (−2,886)·3,5 = 32,93
ŷ = 32,93 − 2,886·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 32,93 + (−2,886)·2,5 = 25,72

Остаток

e = 29 − 25,72 = 3,281

Ответ

e = 3,281

Точка лежит выше прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,76

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 80·28/140 = 16, 80·42/140 = 24, 80·70/140 = 40
сотрудники: 60·28/140 = 12, 60·42/140 = 18, 60·70/140 = 30

Статистика хи-квадрат

χ² = (13 − 16)²/16 + (26 − 24)²/24 + (41 − 40)²/40 + (15 − 12)²/12 + (16 − 18)²/18 + (29 − 30)²/30
χ² = 1,76

Ответ

χ² = 1,76

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 19,25

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 80, 20
возраст 31–50: 32, 8
возраст 51+: 80, 20

Статистика хи-квадрат

χ² = (87 − 80)²/80 + (13 − 20)²/20 + (38 − 32)²/32 + (2 − 8)²/8 + (67 − 80)²/80 + (33 − 20)²/20
χ² = 19,25

Решение

df = 2, χ²crit = 5,991
19,25 > 5,991

Ответ

χ² = 19,25

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference