Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 57 и 77,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 57x₂ = 77,5

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 элементов имеет среднее 79,5 и стандартное отклонение s = 5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 25x̄ = 79,5s = 595%t(24) = 2,064

нижняя граница =

4.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 10. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 10E = 2,595%

n =

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

8 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 7,81, стандартное отклонение разностей — 9,2. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = 7,81s_d = 9,2

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 90 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 51 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 51n₂ = 100

z =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (22,5, 80). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(22,5, 80)

e =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 3

χ² =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 9 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 9

df =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6825

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Площадь между

P = Φ(1,25) − Φ(−0,8) = 0,8944 − 0,2119 = 0,6825

Ответ

P = 0,6825

2.Нормальное распределение

Ответ: x = 187 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Ответ

x = 186,97 cm

3.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 77,44

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Предельная ошибка

E = 2,064·5/√25 = 2,064

Интервал

79,5 ± 2,064 → [77,44, 81,56]

Ответ

нижняя граница = 77,44

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 62

Выразите n

n = (1,96·10/2,5)² = 61,47

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 62

Ответ

n = 62

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,401

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 9,2/√8 = 3,253

Статистика критерия

t = 7,81/3,253 = 2,401

Ответ

t = 2,401

При df = 7 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,365; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −0,9816

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 90/200 = 0,45

p̂₂ = 51/100 = 0,51

p̂ = 141/300 = 0,47

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,47·0,53·(1/200 + 1/100)) = 0,06113

Статистика критерия

z = (0,45 − 0,51)/0,06113 = −0,9816

Ответ

z = −0,9816

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9842

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 629/6 = 104,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 341

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1715

Коэффициент корреляции

r = 341/√(70·1715) = 0,9842

Ответ

r = 0,9842

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,8

Средние

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 411/5 = 82,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 360

Линия регрессии

b = 360/90 = 4

a = 82,2 − 4·24 = −13,8

ŷ = −13,8 + 4·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −13,8 + 4·22,5 = 76,2

Остаток

e = 80 − 76,2 = 3,8

Ответ

e = 3,8

Точка лежит выше прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,7267

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 100·40/200 = 20, 100·60/200 = 30, 100·100/200 = 50

село: 100·40/200 = 20, 100·60/200 = 30, 100·100/200 = 50

Статистика хи-квадрат

χ² = (19 − 20)²/20 + (28 − 30)²/30 + (53 − 50)²/50 + (21 − 20)²/20 + (32 − 30)²/30 + (47 − 50)²/50

χ² = 0,7267

Ответ

χ² = 0,7267

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 7

Степени свободы

df = 9 − 1 − 1 = 7

Ответ

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference