Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 245 и 257,75 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 245x₂ = 257,75

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 8 элементов имеет среднее 24,5 и стандартное отклонение s = 15. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 8x̄ = 24,5s = 1595%t(7) = 2,365

верхняя граница =

4.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 34. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 34E = 1,599%

n =

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 125,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 125,3s = 15n = 36

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 4 единиц с мощностью 95 %. Стандартное отклонение равно 26. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 95%δ = 4σ = 26z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 131?

n = 5ŷ = 131

x =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 2

χ² =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 6 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7808

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (245 − 250)/5 = −1

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Площадь между

P = Φ(1,55) − Φ(−1) = 0,9394 − 0,1587 = 0,7808

Ответ

P = 0,7808

2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

3.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 37,04

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Предельная ошибка

E = 2,365·15/√8 = 12,54

Интервал

24,5 ± 12,54 → [11,96, 37,04]

Ответ

верхняя граница = 37,04

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 3410

Выразите n

n = (2,576·34/1,5)² = 3409

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 3410

Ответ

n = 3410

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,12

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Статистика критерия

t = (125,3 − 120)/2,5 = 2,12

Ответ

t = 2,12

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 458

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,645)·26/4)² = 457,3

Округлите вверх

n = 458

Ответ

n = 458

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,7891

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 285/5 = 57

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 138

Коэффициент детерминации

r² = 33²/(10·138) = 0,7891

Ответ

r² = 0,7891

Прямая объясняет около 78,91% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 21,46

Средние

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 705/5 = 141

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 585

Линия регрессии

b = 585/90 = 6,5

a = 141 − 6,5·23 = −8,5

ŷ = −8,5 + 6,5·x

Найдите x

x = (131 − (−8,5))/6,5 = 21,46

Ответ

x = 21,46

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 11,25

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 60·98/140 = 42, 60·42/140 = 18

плацебо: 80·98/140 = 56, 80·42/140 = 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (33 − 42)²/42 + (27 − 18)²/18 + (65 − 56)²/56 + (15 − 24)²/24

χ² = 11,25

Ответ

χ² = 11,25

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 13,28

Степени свободы

df = 6 − 1 − 1 = 4

Таблица

χ²_crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Ответ

χ²_crit = 13,277

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference