Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
174,5190,95P = ?

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 174,5 и 190,95 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x1 = 174,5x2 = 190,95
P =
2.Нормальное распределениеСложная
0,02 mm0D − d?

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
3.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 62 h, известное стандартное отклонение 14 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 58 h, известное стандартное отклонение 9 h. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 62 hσ₁ = 14 hn₂ = 50x̄₂ = 58 hσ₂ = 9 h95%
верхняя граница = h
4.Доверительные интервалыСложная
n = 16σ = ?Us = 8,495%

Диаметры 16 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 8,4 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 15 2,5 % распределения χ² лежит ниже 6,262 и 2,5 % — выше 27,488.

n = 16s = 8,4 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −2,06402,064

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 104,8 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 104,8s = 20n = 25
t =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −2,57602,576

Выборка из 49 измерений имеет среднее 500,7. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 500,7σ = 10n = 4999%
L =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy14201635183920452249xy152020304050

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 90Σy = 188Σx² = 1660Σy² = 7572Σxy = 3520
r =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy12121832041351568xy246101520x = 2,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (2,5, 22). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 22)
e =
9.Критерии хи-квадратСредняя
улучшениебез улучшенияИтогоновый препарат3664100плацебо3466100Итого70130200

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 2
χ² =
10.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 3 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6593

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5
z₂ = (190,95 − 178)/7 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(−0,5) = 0,9678 − 0,3085 = 0,6593

Ответ

P = 0,6593
2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9207

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Ответ

P = 0,9207
3.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 8,613 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 62 − 58 = 4

Стандартная ошибка

SE = √(14²/50 + 9²/50) = 2,354

Предельная ошибка

E = 1,96·2,354 = 4,613

Интервал

4 ± 4,613 → [−0,6133, 8,613]

Ответ

верхняя граница = 8,613 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

4.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 6,205 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 15·8,4² = 1058

Границы для σ²

1058/27,488 = 38,5
1058/6,262 = 169

Граница для σ

σ = √38,5 = 6,205 µm

Ответ

σ = 6,205 µm

95 % интервал для σ: [6,205, 13] µm.

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Статистика критерия

t = (104,8 − 100)/4 = 1,2

Ответ

t = 1,2
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 497

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·10/√49 = 3,68

Граница интервала

L = 500,7 − 3,68 = 497

Ответ

L = 497
7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9586

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

Sxy = 3520 − 90·188/5 = 136
Sxx = 1660 − 90²/5 = 40
Syy = 7572 − 188²/5 = 503,2

Коэффициент корреляции

r = 136/√(40·503,2) = 0,9586

Ответ

r = 0,9586
8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,852

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 95/6 = 15,83

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5

Линия регрессии

b = −40,5/17,5 = −2,314
a = 15,83 − (−2,314)·3,5 = 23,93
ŷ = 23,93 − 2,314·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 23,93 + (−2,314)·2,5 = 18,15

Остаток

e = 22 − 18,15 = 3,852

Ответ

e = 3,852

Точка лежит выше прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,08791

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 100·70/200 = 35, 100·130/200 = 65
плацебо: 100·70/200 = 35, 100·130/200 = 65

Статистика хи-квадрат

χ² = (36 − 35)²/35 + (64 − 65)²/65 + (34 − 35)²/35 + (66 − 65)²/65
χ² = 0,08791

Ответ

χ² = 0,08791

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 13,28

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Таблица

χ²crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Ответ

χ²crit = 13,277

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference