Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,1894. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,1894

z =

2.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 12 элементов имеет среднее 20 и стандартное отклонение s = 9. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 12x̄ = 20s = 999%t(11) = 3,106

E =

4.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 21. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 21E = 199%

n =

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

7 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 6,17, стандартное отклонение разностей — 10,2. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = 6,17s_d = 10,2

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 75,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 75,2σ = 5n = 2590%

L =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 18?

n = 6ŷ = 18

x =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «ночная смена, незначительный».

итог по строке = 113итог по столбцу = 78N = 215

E =

10.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1403 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,88

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,1894 = 0,8106

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8106 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,88

Ответ

z = 0,88

2.Нормальное распределение

Ответ: x = 551,3 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Ответ

x = 551,26 h

3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 8,07

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Предельная ошибка

E = 3,106·9/√12 = 8,07

Ответ

E = 8,07

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2927

Выразите n

n = (2,576·21/1)² = 2926

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 2927

Ответ

n = 2927

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,6

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 10,2/√7 = 3,855

Статистика критерия

t = 6,17/3,855 = 1,6

Ответ

t = 1,6

При df = 6 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,447; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 73,56

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·5/√25 = 1,645

Граница интервала

L = 75,2 − 1,645 = 73,56

Ответ

L = 73,56

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,961

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 118/5 = 23,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 73,2

Коэффициент корреляции

r = −26/√(10·73,2) = −0,961

Ответ

r = −0,961

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,27

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 115/6 = 19,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26,5

Линия регрессии

b = −26,5/17,5 = −1,514

a = 19,17 − (−1,514)·3,5 = 24,47

ŷ = 24,47 − 1,514·x

Найдите x

x = (18 − 24,47)/(−1,514) = 4,27

Ответ

x = 4,27

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 41

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 113·78/215 = 41

Ответ

E = 41

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 5,367

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 20, 20

возраст 31–50: 30, 30

возраст 51+: 20, 20

Статистика хи-квадрат

χ² = (26 − 20)²/20 + (14 − 20)²/20 + (25 − 30)²/30 + (35 − 30)²/30 + (19 − 20)²/20 + (21 − 20)²/20

χ² = 5,367

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

5,367 < 9,210

Ответ

χ² = 5,367

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference