Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
174,5181,5P = ?

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 174,5 и 181,5 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x1 = 174,5x2 = 181,5
P =
2.Нормальное распределениеСложная
10 g0X − Y?

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
3.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 105,5 h, известное стандартное отклонение 9 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 117,5 h, известное стандартное отклонение 19 h. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 105,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 40x̄₂ = 117,5 hσ₂ = 19 h90%
нижняя граница = h
4.Доверительные интервалыСложная
μ₁ − μ₂, t(14) = 2,9770LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 7 участков, средний урожай 75 kg, стандартное отклонение 6 kg. Группа участков 2: 9 участков, среднее 63,5 kg, стандартное отклонение 7 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 75s₁ = 6n₂ = 9x̄₂ = 63,5s₂ = 799%t(14) = 2,977
верхняя граница = kg
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−1,961,96z = ?

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 50 деталей имеет среднюю длину 142,5 mm, известное стандартное отклонение линии 19 mm. Линия 2: выборка из 80 деталей имеет среднее 135,9 mm, известное стандартное отклонение 12 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 50x̄₁ = 142,5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 80x̄₂ = 135,9 mmσ₂ = 12 mm
z =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
−1,961,96z = ?

В исследовании выздоравливают 48 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 52 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 48n₁ = 120x₂ = 52n₂ = 100
z =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy181112112624142271683018633201xy202530150200

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6
r² =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy123221320417518615xy2461520x = 5,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5,5.

n = 6x = 5,5
ŷ =
9.Критерии хи-квадратСредняя
автобусвелосипедавтомобильИтогостуденты31282180сотрудники293259120Итого606080200

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 3
χ² =
10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 5 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?

2 × 5
df =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3829

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5
z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5

Площадь между

P = Φ(0,5) − Φ(−0,5) = 0,6915 − 0,3085 = 0,3829

Ответ

P = 0,3829
2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413
3.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −17,47 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 105,5 − 117,5 = −12

Стандартная ошибка

SE = √(9²/40 + 19²/40) = 3,324

Предельная ошибка

E = 1,645·3,324 = 5,468

Интервал

−12 ± 5,468 → [−17,47, −6,532]

Ответ

нижняя граница = −17,47 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

4.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 21,39 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

sp² = (6·6² + 8·7²)/14 = 43,43
sp = 6,59

Предельная ошибка

E = 2,977·6,59·√(1/7 + 1/9) = 9,887

Интервал

11,5 ± 9,887 → [1,613, 21,39]

Ответ

верхняя граница = 21,39 kg
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,198

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(19²/50 + 12²/80) = √9,02 = 3,003

Статистика критерия

z = (142,5 − 135,9)/3,003 = 2,198

Ответ

z = 2,198

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,78

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 48/120 = 0,4
p̂₂ = 52/100 = 0,52
p̂ = 100/220 = 0,4545

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,4545·0,5455·(1/120 + 1/100)) = 0,06742

Статистика критерия

z = (0,4 − 0,52)/0,06742 = −1,78

Ответ

z = −1,78

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9933

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 934/6 = 155,7

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 984
Syy = Σ(y − ȳ)² = 6189

Коэффициент детерминации

r² = 984²/(157,5·6189) = 0,9933

Ответ

r² = 0,9933

Прямая объясняет около 99,33% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 16,03

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 114/6 = 19

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Линия регрессии

b = −26/17,5 = −1,486
a = 19 − (−1,486)·3,5 = 24,2
ŷ = 24,2 − 1,486·x

Прогноз

ŷ = 24,2 + (−1,486)·5,5 = 16,03

Ответ

ŷ = 16,03
9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 10,82

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 80·60/200 = 24, 80·60/200 = 24, 80·80/200 = 32
сотрудники: 120·60/200 = 36, 120·60/200 = 36, 120·80/200 = 48

Статистика хи-квадрат

χ² = (31 − 24)²/24 + (28 − 24)²/24 + (21 − 32)²/32 + (29 − 36)²/36 + (32 − 36)²/36 + (59 − 48)²/48
χ² = 10,82

Ответ

χ² = 10,82

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 4

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Ответ

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference