Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8584. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8584

z =

2.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3.Доверительные интервалыСредняя

У 7 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 2,3 и стандартное отклонение 7,5. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.

n = 7d̄ = 2,3s_d = 7,595%t(6) = 2,447

верхняя граница = mmHg

4.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 21. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 21E = 290%

n =

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 19 студентов, средний балл 40, стандартное отклонение 8. Группа 2: 12 студентов, средний балл 37,8, стандартное отклонение 4. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 19x̄₁ = 40s₁ = 8n₂ = 12x̄₂ = 37,8s₂ = 4

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 5E = 399%

n =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5,5, 20). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 20)

e =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «студенты, автомобиль».

итог по строке = 71итог по столбцу = 54N = 182

E =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 9 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 9

df =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,47

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8584)/2 = 0,9292

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9292 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,47

Ответ

z = 1,47

2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

3.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 9,237 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 6, t = 2,447

Предельная ошибка

E = 2,447·7,5/√7 = 6,937

Интервал

2,3 ± 6,937 → [−4,637, 9,237]

Ответ

верхняя граница = 9,237 mmHg

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 299

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·21/2)² = 298,3

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 299

Ответ

n = 299

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 0,8817

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (18·8² + 11·4²)/29 = 45,79

s_p = 6,767

Стандартная ошибка

SE = 6,767·√(1/19 + 1/12) = 2,495

Статистика критерия

t = (40 − 37,8)/2,495 = 0,8817

Ответ

t = 0,8817

При df = 29 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,045; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 19

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (2,576·5/3)² = 18,43

Округлите вверх

n = 19

Ответ

n = 19

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9328

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 60,8

Коэффициент корреляции

r = −23/√(10·60,8) = −0,9328

Ответ

r = −0,9328

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,024

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 131/6 = 21,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5

Линия регрессии

b = −42,5/17,5 = −2,429

a = 21,83 − (−2,429)·3,5 = 30,33

ŷ = 30,33 − 2,429·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 30,33 + (−2,429)·5,5 = 16,98

Остаток

e = 20 − 16,98 = 3,024

Ответ

e = 3,024

Точка лежит выше прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 21,07

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 71·54/182 = 21,07

Ответ

E = 21,07

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 7

Степени свободы

df = 9 − 1 − 1 = 7

Ответ

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference