Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
65,575,5P = ?

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 65,5 и 75,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x1 = 65,5x2 = 75,5
P =
2.Нормальное распределениеСложная
μ = 100x = ?97,5%

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = баллов
3.Доверительные интервалыСредняя
n = 12, s = 11,5LU = ?x̄ = 111,5E95%

Выборка из 12 элементов имеет среднее 111,5 и стандартное отклонение s = 11,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 12x̄ = 111,5s = 11,595%t(11) = 2,201
верхняя граница =
4.Доверительные интервалыСложная
n = 16σ = ?Us = 0,895%

Диаметры 16 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 0,8 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 15 2,5 % распределения χ² лежит ниже 6,262 и 2,5 % — выше 27,488.

n = 16s = 0,8 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −2,01102,011

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 201,2 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,2s = 12n = 49
t =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −1,64501,645

Выборка из 25 измерений имеет среднее 198,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 198,8σ = 5n = 2590%
U =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy16791990221022511828133xy202580100120

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5
r² =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy125223321420516xy242025ŷ = 20

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20
x =
9.Критерии хи-квадратСредняя
без дефектовнезначительныйзначительныйИтогодневная смена10203060ночная смена11363380Итого215663140

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 3
χ² =
10.Критерии хи-квадратСложная
данетИтоголиния 1273360линия 2182240линия 35545100Итого100100200dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2003 × 2α = 0,01
χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3332

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (65,5 − 65)/10 = 0,05
z₂ = (75,5 − 65)/10 = 1,05

Площадь между

P = Φ(1,05) − Φ(0,05) = 0,8531 − 0,5199 = 0,3332

Ответ

P = 0,3332
2.Нормальное распределение

Ответ: x = 129,4 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Обратно к x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 баллов

Ответ

x = 129,4 баллов
3.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 118,8

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Предельная ошибка

E = 2,201·11,5/√12 = 7,307

Интервал

111,5 ± 7,307 → [104,2, 118,8]

Ответ

верхняя граница = 118,8
4.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 0,591 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 15·0,8² = 9,6

Границы для σ²

9,6/27,488 = 0,3492
9,6/6,262 = 1,533

Граница для σ

σ = √0,3492 = 0,591 µm

Ответ

σ = 0,591 µm

95 % интервал для σ: [0,591, 1,238] µm.

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 0,7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Статистика критерия

t = (201,2 − 200)/1,714 = 0,7

Ответ

t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 200,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·5/√25 = 1,645

Граница интервала

U = 198,8 + 1,645 = 200,4

Ответ

U = 200,4
7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9938

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 522/5 = 104,4

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 408
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1861

Коэффициент детерминации

r² = 408²/(90·1861) = 0,9938

Ответ

r² = 0,9938

Прямая объясняет около 99,38% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,476

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 105/5 = 21

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

Линия регрессии

b = −21/10 = −2,1
a = 21 − (−2,1)·3 = 27,3
ŷ = 27,3 − 2,1·x

Найдите x

x = (20 − 27,3)/(−2,1) = 3,476

Ответ

x = 3,476
9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,944

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 60·21/140 = 9, 60·56/140 = 24, 60·63/140 = 27
ночная смена: 80·21/140 = 12, 80·56/140 = 32, 80·63/140 = 36

Статистика хи-квадрат

χ² = (10 − 9)²/9 + (20 − 24)²/24 + (30 − 27)²/27 + (11 − 12)²/12 + (36 − 32)²/32 + (33 − 36)²/36
χ² = 1,944

Ответ

χ² = 1,944

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 2

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

линия 1: 30, 30
линия 2: 20, 20
линия 3: 50, 50

Статистика хи-квадрат

χ² = (27 − 30)²/30 + (33 − 30)²/30 + (18 − 20)²/20 + (22 − 20)²/20 + (55 − 50)²/50 + (45 − 50)²/50
χ² = 2

Решение

df = 2, χ²crit = 9,210
2 < 9,210

Ответ

χ² = 2

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference