Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 6 из них меньше 151,2 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6< 151.2 kg

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 20 элементов имеет среднее 78,5 и стандартное отклонение s = 7. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 20x̄ = 78,5s = 790%t(19) = 1,729

E =

4.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 15 участков, средний урожай 48 kg, стандартное отклонение 10 kg. Группа участков 2: 11 участков, среднее 38 kg, стандартное отклонение 2 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 48s₁ = 10n₂ = 11x̄₂ = 38s₂ = 290%t(24) = 1,711

E = kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 6 студентов, средний балл 72,5, стандартное отклонение 3,5. Группа 2: 6 студентов, средний балл 70,4, стандартное отклонение 2. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 6x̄₁ = 72,5s₁ = 3,5n₂ = 6x̄₂ = 70,4s₂ = 2

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 5. В действительности среднее равно 47.1. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 50μ = 47,1σ = 5n = 25α = 0,10

1 − β = %

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 63?

n = 6ŷ = 63

x =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 3

χ² =

10.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1803 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8365

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Стандартизуйте

z = (151,2 − 150)/1,225 = 0,98

Вероятность

P = Φ(0,98) = 0,8365

Ответ

P = 0,8365

2.Нормальное распределение

Ответ: x = 551,3 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Ответ

x = 551,26 h

3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,706

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Предельная ошибка

E = 1,729·7/√20 = 2,706

Ответ

E = 2,706

4.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,261 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (14·10² + 10·2²)/24 = 60

s_p = 7,746

Предельная ошибка

E = 1,711·7,746·√(1/15 + 1/11) = 5,261

Ответ

E = 5,261 kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,276

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (5·3,5² + 5·2²)/10 = 8,125

s_p = 2,85

Стандартная ошибка

SE = 2,85·√(1/6 + 1/6) = 1,646

Статистика критерия

t = (72,5 − 70,4)/1,646 = 1,276

Ответ

t = 1,276

При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 94,72 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 50 − 1,282·1 = 48,72

z при истинном среднем

z = (48,72 − 47,1)/1 = 1,618

Мощность

мощность = P(Z < 1.618) = 94.72%

1 − β = 94,72%

Ответ

1 − β = 94,72%

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,6325

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 100/5 = 20

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −8

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 16

Коэффициент корреляции

r = −8/√(10·16) = −0,6325

Ответ

r = −0,6325

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,483

Средние

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 408/6 = 68

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

Линия регрессии

b = 86/17,5 = 4,914

a = 68 − 4,914·5,5 = 40,97

ŷ = 40,97 + 4,914·x

Найдите x

x = (63 − 40,97)/4,914 = 4,483

Ответ

x = 4,483

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 4,844

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 60·24/120 = 12, 60·36/120 = 18, 60·60/120 = 30

ночная смена: 60·24/120 = 12, 60·36/120 = 18, 60·60/120 = 30

Статистика хи-квадрат

χ² = (10 − 12)²/12 + (14 − 18)²/18 + (36 − 30)²/30 + (14 − 12)²/12 + (22 − 18)²/18 + (24 − 30)²/30

χ² = 4,844

Ответ

χ² = 4,844

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 22,14

Ожидаемые частоты

завод A: 56, 24

завод B: 28, 12

завод C: 42, 18

Статистика хи-квадрат

χ² = (70 − 56)²/56 + (10 − 24)²/24 + (20 − 28)²/28 + (20 − 12)²/12 + (36 − 42)²/42 + (24 − 18)²/18

χ² = 22,14

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

22,14 > 5,991

Ответ

χ² = 22,14

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference