Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них превышает 361,8 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 361,8 g

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 110 и стандартное отклонение s = 8. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 110s = 890%t(6) = 1,943

нижняя граница =

4.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 8 участков, средний урожай 71 kg, стандартное отклонение 8,5 kg. Группа участков 2: 13 участков, среднее 78 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 71s₁ = 8,5n₂ = 13x̄₂ = 78s₂ = 7,590%t(19) = 1,729

верхняя граница = kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 201,7 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,7s = 5n = 25

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 492,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 492,8σ = 20n = 2595%

L =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 113Σx² = 55Σy² = 2599Σxy = 318

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (1,5, 17). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 17)

e =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 2

χ² =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 9 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 9

df =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3085

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 360 g, σ_T = 1,2·√9 = 3,6 g

Стандартизуйте

z = (361,8 − 360)/3,6 = 0,5

Вероятность

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Ответ

P = 0,3085

2.Нормальное распределение

Ответ: x = 41,87 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Ответ

x = 41,87 min

3.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 104,1

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Предельная ошибка

E = 1,943·8/√7 = 5,875

Интервал

110 ± 5,875 → [104,1, 115,9]

Ответ

нижняя граница = 104,1

4.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −0,8752 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (7·8,5² + 12·7,5²)/19 = 62,14

s_p = 7,883

Предельная ошибка

E = 1,729·7,883·√(1/8 + 1/13) = 6,125

Интервал

−7 ± 6,125 → [−13,12, −0,8752]

Ответ

верхняя граница = −0,8752 kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Статистика критерия

t = (201,7 − 200)/1 = 1,7

Ответ

t = 1,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 485

Предельная ошибка

E = 1,96·20/√25 = 7,84

Граница интервала

L = 492,8 − 7,84 = 485

Ответ

L = 485

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9878

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 318 − 15·113/5 = −21

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2599 − 113²/5 = 45,2

Коэффициент корреляции

r = −21/√(10·45,2) = −0,9878

Ответ

r = −0,9878

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,4

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 84/6 = 14

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56

Линия регрессии

b = −56/17,5 = −3,2

a = 14 − (−3,2)·3,5 = 25,2

ŷ = 25,2 − 3,2·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 25,2 + (−3,2)·1,5 = 20,4

Остаток

e = 17 − 20,4 = −3,4

Ответ

e = −3,4

Точка лежит ниже прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 11,87

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 40·104/160 = 26, 40·56/160 = 14

некурящие: 120·104/160 = 78, 120·56/160 = 42

Статистика хи-квадрат

χ² = (35 − 26)²/26 + (5 − 14)²/14 + (69 − 78)²/78 + (51 − 42)²/42

χ² = 11,87

Ответ

χ² = 11,87

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 7

Степени свободы

df = 9 − 1 − 1 = 7

Ответ

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference