Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них меньше 60,9 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 5< 60.9 kg

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 90% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 77,5 и стандартное отклонение s = 8,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 77,5s = 8,595%t(8) = 2,306

E =

4.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 26. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 26E = 390%

n =

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 493,5 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 493,5s = 10n = 16

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 55 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 128 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 55n₁ = 100x₂ = 128n₂ = 200

z =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 53?

n = 6ŷ = 53

x =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 802 × 3

χ² =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 3 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?

3 × 3

df =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6915

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 60 kg, σ_T = 0,8·√5 = 1,789 kg

Стандартизуйте

z = (60,9 − 60)/1,789 = 0,5

Вероятность

P = Φ(0,5) = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

2.Нормальное распределение

Ответ: x = 256,4 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,9

z из таблицы

z ≈ 1,28

Возврат к исходным единицам

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Ответ

x = 256,4 g

3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,534

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Предельная ошибка

E = 2,306·8,5/√9 = 6,534

Ответ

E = 6,534

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 204

Выразите n

n = (1,645·26/3)² = 203,3

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 204

Ответ

n = 204

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,6

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Статистика критерия

t = (493,5 − 500)/2,5 = −2,6

Ответ

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,507

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 55/100 = 0,55

p̂₂ = 128/200 = 0,64

p̂ = 183/300 = 0,61

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,61·0,39·(1/100 + 1/200)) = 0,05974

Статистика критерия

z = (0,55 − 0,64)/0,05974 = −1,507

Ответ

z = −1,507

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8584

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 429/5 = 85,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 620,8

Коэффициент детерминации

r² = 146²/(40·620,8) = 0,8584

Ответ

r² = 0,8584

Прямая объясняет около 85,84% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,373

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 299/6 = 49,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63,5

Линия регрессии

b = 63,5/17,5 = 3,629

a = 49,83 − 3,629·3,5 = 37,13

ŷ = 37,13 + 3,629·x

Найдите x

x = (53 − 37,13)/3,629 = 4,373

Ответ

x = 4,373

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 2,625

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 40·24/80 = 12, 40·24/80 = 12, 40·32/80 = 16

село: 40·24/80 = 12, 40·24/80 = 12, 40·32/80 = 16

Статистика хи-квадрат

χ² = (15 − 12)²/12 + (12 − 12)²/12 + (13 − 16)²/16 + (9 − 12)²/12 + (12 − 12)²/12 + (19 − 16)²/16

χ² = 2,625

Ответ

χ² = 2,625

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 4

Степени свободы

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Ответ

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference