Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 76,75 и 103,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 76,75x₂ = 103,75

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 20% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов20%

x = баллов

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 6 элементов имеет среднее 51,5 и стандартное отклонение s = 16. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 6x̄ = 51,5s = 1690%t(5) = 2,015

E =

4.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 35. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 35E = 195%

n =

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 124,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 124,3s = 15n = 36

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 140 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 125 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 140n₁ = 200x₂ = 125n₂ = 150

z =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 107Σx² = 91Σy² = 1999Σxy = 335

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4.

n = 5x = 4

ŷ =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 3

χ² =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 4 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 4

df =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5381

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55

z₂ = (103,75 − 100)/15 = 0,25

Площадь между

P = Φ(0,25) − Φ(−1,55) = 0,5987 − 0,06057 = 0,5381

Ответ

P = 0,5381

2.Нормальное распределение

Ответ: x = 73,4 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 баллов

Ответ

x = 73,4 баллов

3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 13,16

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Предельная ошибка

E = 2,015·16/√6 = 13,16

Ответ

E = 13,16

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 4706

Выразите n

n = (1,96·35/1)² = 4706

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 4706

Ответ

n = 4706

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,72

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Статистика критерия

t = (124,3 − 120)/2,5 = 1,72

Ответ

t = 1,72

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,879

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 140/200 = 0,7

p̂₂ = 125/150 = 0,8333

p̂ = 265/350 = 0,7571

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,7571·0,2429·(1/200 + 1/150)) = 0,04632

Статистика критерия

z = (0,7 − 0,8333)/0,04632 = −2,879

Ответ

z = −2,879

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9907

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 335 − 21·107/6 = −39,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1999 − 107²/6 = 90,83

Коэффициент корреляции

r = −39,5/√(17,5·90,83) = −0,9907

Ответ

r = −0,9907

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 53,8

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 293/5 = 58,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Линия регрессии

b = 192/40 = 4,8

a = 58,6 − 4,8·5 = 34,6

ŷ = 34,6 + 4,8·x

Прогноз

ŷ = 34,6 + 4,8·4 = 53,8

Ответ

ŷ = 53,8

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 9,706

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 80·27/180 = 12, 80·72/180 = 32, 80·81/180 = 36

ночная смена: 100·27/180 = 15, 100·72/180 = 40, 100·81/180 = 45

Статистика хи-квадрат

χ² = (13 − 12)²/12 + (41 − 32)²/32 + (26 − 36)²/36 + (14 − 15)²/15 + (31 − 40)²/40 + (55 − 45)²/45

χ² = 9,706

Ответ

χ² = 9,706

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 2

Степени свободы

df = 4 − 1 − 1 = 2

Ответ

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference