Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0132. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,0132

z =

2.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3.Доверительные интервалыСредняя

У 11 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 7 и стандартное отклонение 1. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 11d̄ = 7s_d = 199%t(10) = 3,169

E = mmHg

4.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 11 участков, средний урожай 88 kg, стандартное отклонение 2,5 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 95 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 88s₁ = 2,5n₂ = 6x̄₂ = 95s₂ = 9,595%t(15) = 2,131

E = kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 15 студентов, средний балл 65, стандартное отклонение 3,5. Группа 2: 6 студентов, средний балл 68,6, стандартное отклонение 3. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 15x̄₁ = 65s₁ = 3,5n₂ = 6x̄₂ = 68,6s₂ = 3

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 199,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 199,2σ = 8n = 10090%

L =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 3

χ² =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 3 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?

3 × 3

df =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,22

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,0132 = 0,9868

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9868 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,22

Ответ

z = 2,22

2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 0,9555 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 10, t = 3,169

Предельная ошибка

E = 3,169·1/√11 = 0,9555

Ответ

E = 0,9555 mmHg

4.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,329 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (10·2,5² + 5·9,5²)/15 = 34,25

s_p = 5,852

Предельная ошибка

E = 2,131·5,852·√(1/11 + 1/6) = 6,329

Ответ

E = 6,329 kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,208

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (14·3,5² + 5·3²)/19 = 11,39

s_p = 3,376

Стандартная ошибка

SE = 3,376·√(1/15 + 1/6) = 1,631

Статистика критерия

t = (65 − 68,6)/1,631 = −2,208

Ответ

t = −2,208

При df = 19 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,093; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 197,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·8/√100 = 1,316

Граница интервала

L = 199,2 − 1,316 = 197,9

Ответ

L = 197,9

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9914

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 61/5 = 12,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 110,8

Коэффициент корреляции

r = 66/√(40·110,8) = 0,9914

Ответ

r = 0,9914

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 22,2

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 87/5 = 17,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

Линия регрессии

b = −32/10 = −3,2

a = 17,4 − (−3,2)·3 = 27

ŷ = 27 − 3,2·x

Прогноз

ŷ = 27 + (−3,2)·1,5 = 22,2

Ответ

ŷ = 22,2

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 5,78

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 80·50/200 = 20, 80·70/200 = 28, 80·80/200 = 32

ночная смена: 120·50/200 = 30, 120·70/200 = 42, 120·80/200 = 48

Статистика хи-квадрат

χ² = (27 − 20)²/20 + (23 − 28)²/28 + (30 − 32)²/32 + (23 − 30)²/30 + (47 − 42)²/42 + (50 − 48)²/48

χ² = 5,78

Ответ

χ² = 5,78

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 4

Степени свободы

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Ответ

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference