Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
−3−2−10123zзакрашенная площадь справа от z = 0,1151

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,1151. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,1151
z =
2.Нормальное распределениеСложная
0,02 mm0D − d?

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
3.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 142,5 h, известное стандартное отклонение 4 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 146,5 h, известное стандартное отклонение 16 h. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 142,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 40x̄₂ = 146,5 hσ₂ = 16 h90%
E = h
4.Доверительные интервалыСложная
p ≈ 0,7, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,02599%

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,7 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?

p ≈ 0,7E = 0,02599%
n =
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−1,961,96z = ?

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 80 деталей имеет среднюю длину 112 mm, известное стандартное отклонение линии 8 mm. Линия 2: выборка из 30 деталей имеет среднее 113,2 mm, известное стандартное отклонение 3 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 80x̄₁ = 112 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 30x̄₂ = 113,2 mmσ₂ = 3 mm
z =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 395%
n =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy2741862283110381250xy5102040

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6
r² =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy122221322421518618xy246182022x = 3,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3,5.

n = 6x = 3,5
ŷ =
9.Критерии хи-квадратСредняя
без дефектовнезначительныйзначительныйИтогодневная смена2591448ночная смена2783873Итого521752121

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «дневная смена, незначительный».

итог по строке = 48итог по столбцу = 17N = 121
E =
10.Критерии хи-квадратСложная
годнобракИтоголиния 1611980линия 2701080линия 37723100Итого20852260dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2603 × 2α = 0,05
χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,2

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,1151 = 0,8849

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8849 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,20

Ответ

z = 1,20
2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9207

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Ответ

P = 0,9207
3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,29 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 142,5 − 146,5 = −4

Стандартная ошибка

SE = √(4²/40 + 16²/40) = 2,608

Предельная ошибка

E = 1,645·2,608 = 4,29

Ответ

E = 4,29 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2230

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,7·0,3/0,025² = 2230

Округлите вверх

n = 2230

Ответ

n = 2230
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,144

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(8²/80 + 3²/30) = √1,1 = 1,049

Статистика критерия

z = (112 − 113,2)/1,049 = −1,144

Ответ

z = −1,144

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,96·4/3)² = 6,83

Округлите вверх

n = 7

Ответ

n = 7
7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9854

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 166/6 = 27,67

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 284
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1169

Коэффициент детерминации

r² = 284²/(70·1169) = 0,9854

Ответ

r² = 0,9854

Прямая объясняет около 98,54% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 20,33

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 122/6 = 20,33

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

Линия регрессии

b = −15/17,5 = −0,8571
a = 20,33 − (−0,8571)·3,5 = 23,33
ŷ = 23,33 − 0,8571·x

Прогноз

ŷ = 23,33 + (−0,8571)·3,5 = 20,33

Ответ

ŷ = 20,33
9.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 6,744

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 48·17/121 = 6,744

Ответ

E = 6,744
10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 4,078

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

линия 1: 64, 16
линия 2: 64, 16
линия 3: 80, 20

Статистика хи-квадрат

χ² = (61 − 64)²/64 + (19 − 16)²/16 + (70 − 64)²/64 + (10 − 16)²/16 + (77 − 80)²/80 + (23 − 20)²/20
χ² = 4,078

Решение

df = 2, χ²crit = 5,991
4,078 < 5,991

Ответ

χ² = 4,078

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference