Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 242,75 и 257,75 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,75x₂ = 257,75

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 8 элементов имеет среднее 50,5 и стандартное отклонение s = 12. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 8x̄ = 50,5s = 1299%t(7) = 3,499

нижняя граница =

4.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 14. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 14E = 195%

n =

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 503,6 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 503,6s = 10n = 64

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 150 из 250 пациентов, получавших лечение A, и 168 из 300 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 168n₂ = 300

z =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 20Σy = 247Σx² = 90Σy² = 12409Σxy = 1031

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4,5, 59). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 59)

e =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 3

χ² =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 8 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8659

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (242,75 − 250)/5 = −1,45

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Площадь между

P = Φ(1,55) − Φ(−1,45) = 0,9394 − 0,07353 = 0,8659

Ответ

P = 0,8659

2.Нормальное распределение

Ответ: x = 256,4 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g

Ответ

x = 256,41 g

3.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 35,66

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Предельная ошибка

E = 3,499·12/√8 = 14,84

Интервал

50,5 ± 14,84 → [35,66, 65,34]

Ответ

нижняя граница = 35,66

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 753

Выразите n

n = (1,96·14/1)² = 753

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 753

Ответ

n = 753

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,88

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Статистика критерия

t = (503,6 − 500)/1,25 = 2,88

Ответ

t = 2,88

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 0,9458

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 150/250 = 0,6

p̂₂ = 168/300 = 0,56

p̂ = 318/550 = 0,5782

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,5782·0,4218·(1/250 + 1/300)) = 0,04229

Статистика критерия

z = (0,6 − 0,56)/0,04229 = 0,9458

Ответ

z = 0,9458

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9447

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1031 − 20·247/5 = 43

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 12409 − 247²/5 = 207,2

Коэффициент корреляции

r = 43/√(10·207,2) = 0,9447

Ответ

r = 0,9447

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −2,85

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 299/5 = 59,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

Линия регрессии

b = 41/10 = 4,1

a = 59,8 − 4,1·4 = 43,4

ŷ = 43,4 + 4,1·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 43,4 + 4,1·4,5 = 61,85

Остаток

e = 59 − 61,85 = −2,85

Ответ

e = −2,85

Точка лежит ниже прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,425

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 80·35/140 = 20, 80·49/140 = 28, 80·56/140 = 32

село: 60·35/140 = 15, 60·49/140 = 21, 60·56/140 = 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (23 − 20)²/20 + (27 − 28)²/28 + (30 − 32)²/32 + (12 − 15)²/15 + (22 − 21)²/21 + (26 − 24)²/24

χ² = 1,425

Ответ

χ² = 1,425

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 16,81

Степени свободы

df = 8 − 1 − 1 = 6

Таблица

χ²_crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812

Ответ

χ²_crit = 16,812

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference