Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
−3−2−10123zзакрашенная площадь между −z и z = 0,8611

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8611. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8611
z =
2.Нормальное распределениеСложная
μ = 32x = ?95%

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 95%
x = min
3.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 45 h, известное стандартное отклонение 6 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 34 h, известное стандартное отклонение 8 h. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 45 hσ₁ = 6 hn₂ = 80x̄₂ = 34 hσ₂ = 8 h95%
нижняя граница = h
4.Доверительные интервалыСложная
μ₁ − μ₂, t(24) = 2,0640LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 14 участков, средний урожай 69 kg, стандартное отклонение 6,5 kg. Группа участков 2: 12 участков, среднее 73 kg, стандартное отклонение 3,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 14x̄₁ = 69s₁ = 6,5n₂ = 12x̄₂ = 73s₂ = 3,595%t(24) = 2,064
E = kg
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−2,0642,064t = ?df = 24

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 17 студентов, средний балл 116,5, стандартное отклонение 11. Группа 2: 9 студентов, средний балл 123,2, стандартное отклонение 6. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 17x̄₁ = 116,5s₁ = 11n₂ = 9x̄₂ = 123,2s₂ = 6
t =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
−1,961,96z = ?

В исследовании выздоравливают 12 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 2 из 80 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 12n₁ = 80x₂ = 2n₂ = 80
z =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy25496148201022xy5101020

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5
r =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy243353451562668764xy246506070x = 3,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 55). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 55)
e =
9.Критерии хи-квадратСредняя
низкийсреднийвысокийИтогогород28331071село33192577Итого615235148

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «село, низкий».

итог по строке = 77итог по столбцу = 61N = 148
E =
10.Критерии хи-квадратСложная
данетИтогозавод A946100завод B5149100завод C231740Итого16872240dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2403 × 2α = 0,05
χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,48

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8611)/2 = 0,9306

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9306 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,48

Ответ

z = 1,48
2.Нормальное распределение

Ответ: x = 41,87 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Ответ

x = 41,87 min
3.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 8,228 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 45 − 34 = 11

Стандартная ошибка

SE = √(6²/30 + 8²/80) = 1,414

Предельная ошибка

E = 1,96·1,414 = 2,772

Интервал

11 ± 2,772 → [8,228, 13,77]

Ответ

нижняя граница = 8,228 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

4.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,335 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

sp² = (13·6,5² + 11·3,5²)/24 = 28,5
sp = 5,339

Предельная ошибка

E = 2,064·5,339·√(1/14 + 1/12) = 4,335

Ответ

E = 4,335 kg
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,688

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

sp² = (16·11² + 8·6²)/24 = 92,67
sp = 9,626

Стандартная ошибка

SE = 9,626·√(1/17 + 1/9) = 3,968

Статистика критерия

t = (116,5 − 123,2)/3,968 = −1,688

Ответ

t = −1,688

При df = 24 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,064; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,798

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 12/80 = 0,15
p̂₂ = 2/80 = 0,025
p̂ = 14/160 = 0,0875

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,0875·0,9125·(1/80 + 1/80)) = 0,04468

Статистика критерия

z = (0,15 − 0,025)/0,04468 = 2,798

Ответ

z = 2,798

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9915

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 70/5 = 14

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Syy = Σ(y − ȳ)² = 206

Коэффициент корреляции

r = 90/√(40·206) = 0,9915

Ответ

r = 0,9915
8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,767

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 341/6 = 56,83

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80,5

Линия регрессии

b = 80,5/17,5 = 4,6
a = 56,83 − 4,6·4,5 = 36,13
ŷ = 36,13 + 4,6·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 36,13 + 4,6·3,5 = 52,23

Остаток

e = 55 − 52,23 = 2,767

Ответ

e = 2,767

Точка лежит выше прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 31,74

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 77·61/148 = 31,74

Ответ

E = 31,74
10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 47,6

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

завод A: 70, 30
завод B: 70, 30
завод C: 28, 12

Статистика хи-квадрат

χ² = (94 − 70)²/70 + (6 − 30)²/30 + (51 − 70)²/70 + (49 − 30)²/30 + (23 − 28)²/28 + (17 − 12)²/12
χ² = 47,6

Решение

df = 2, χ²crit = 5,991
47,6 > 5,991

Ответ

χ² = 47,6

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference