Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
178192,35P = ?

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 178 и 192,35 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x1 = 178x2 = 192,35
P =
2.Нормальное распределениеСложная
157164171178185192199cmниз 60%

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 60% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
3.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 97 h, известное стандартное отклонение 19 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 103 h, известное стандартное отклонение 13 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 97 hσ₁ = 19 hn₂ = 100x̄₂ = 103 hσ₂ = 13 h99%
верхняя граница = h
4.Доверительные интервалыСложная
μ₁ − μ₂, t(24) = 2,7970LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 12 участков, средний урожай 21,5 kg, стандартное отклонение 8,5 kg. Группа участков 2: 14 участков, среднее 10,5 kg, стандартное отклонение 10 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 21,5s₁ = 8,5n₂ = 14x̄₂ = 10,5s₂ = 1099%t(24) = 2,797
E = kg
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−1,961,96z = ?

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 40 деталей имеет среднюю длину 104 mm, известное стандартное отклонение линии 6 mm. Линия 2: выборка из 40 деталей имеет среднее 100,7 mm, известное стандартное отклонение 8 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 40x̄₁ = 104 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 40x̄₂ = 100,7 mmσ₂ = 8 mm
z =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1,5? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 1,599%
n =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy2841762583410411248xy5102040

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6
r =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy24245766286310731274xy51040506070x = 9

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 66). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(9, 66)
e =
9.Критерии хи-квадратСредняя
без дефектовнезначительныйзначительныйИтогодневная смена34313196ночная смена18161549Итого524746145

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «ночная смена, незначительный».

итог по строке = 49итог по столбцу = 47N = 145
E =
10.Критерии хи-квадратСложная
данетИтоголиния 1281240линия 2431760линия 3411960Итого11248160dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1603 × 2α = 0,01
χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,4798

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (178 − 178)/7 = 0
z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05

Площадь между

P = Φ(2,05) − Φ(0) = 0,9798 − 0,5 = 0,4798

Ответ

P = 0,4798
2.Нормальное распределение

Ответ: x = 179,8 cm

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,6

z из таблицы

z ≈ 0,25

Возврат к исходным единицам

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

Ответ

x = 179,8 cm
3.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 0,4155 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 97 − 103 = −6

Стандартная ошибка

SE = √(19²/80 + 13²/100) = 2,49

Предельная ошибка

E = 2,576·2,49 = 6,415

Интервал

−6 ± 6,415 → [−12,42, 0,4155]

Ответ

верхняя граница = 0,4155 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

4.Доверительные интервалы

Ответ: E = 10,28 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

sp² = (11·8,5² + 13·10²)/24 = 87,28
sp = 9,342

Предельная ошибка

E = 2,797·9,342·√(1/12 + 1/14) = 10,28

Ответ

E = 10,28 kg
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,087

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(6²/40 + 8²/40) = √2,5 = 1,581

Статистика критерия

z = (104 − 100,7)/1,581 = 2,087

Ответ

z = 2,087

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 48

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (2,576·4/1,5)² = 47,19

Округлите вверх

n = 48

Ответ

n = 48
7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9988

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 173/6 = 28,83

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 281
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1131

Коэффициент корреляции

r = 281/√(70·1131) = 0,9988

Ответ

r = 0,9988
8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,805

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 371/6 = 61,83

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 209

Линия регрессии

b = 209/70 = 2,986
a = 61,83 − 2,986·7 = 40,93
ŷ = 40,93 + 2,986·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 40,93 + 2,986·9 = 67,8

Остаток

e = 66 − 67,8 = −1,805

Ответ

e = −1,805

Точка лежит ниже прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 15,88

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 49·47/145 = 15,88

Ответ

E = 15,88
10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,1587

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

линия 1: 28, 12
линия 2: 42, 18
линия 3: 42, 18

Статистика хи-квадрат

χ² = (28 − 28)²/28 + (12 − 12)²/12 + (43 − 42)²/42 + (17 − 18)²/18 + (41 − 42)²/42 + (19 − 18)²/18
χ² = 0,1587

Решение

df = 2, χ²crit = 9,210
0,1587 < 9,210

Ответ

χ² = 0,1587

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference