Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
48 kg48,8 kgT = X₁ + … + X₄?

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них превышает 48,8 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4> 48,8 kg
P =
2.Нормальное распределениеСложная
μ = 65x = ?25%

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 25%
x = баллов
3.Доверительные интервалыСредняя
n = 11, s = 7LUx̄ = 51E = ?90%

Выборка из 11 элементов имеет среднее 51 и стандартное отклонение s = 7. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 51s = 790%t(10) = 1,812
E =
4.Доверительные интервалыСложная
σ = 31, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 31. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 31E = 190%
n =
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−1,961,96z = ?

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 30 деталей имеет среднюю длину 61 mm, известное стандартное отклонение линии 19 mm. Линия 2: выборка из 100 деталей имеет среднее 64,3 mm, известное стандартное отклонение 12 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 30x̄₁ = 61 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 100x̄₂ = 64,3 mmσ₂ = 12 mm
z =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,01βσ = 9, мощность 90%, n = ?

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 9. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 90%δ = 5σ = 9zα = 2,326zβ = 1,282
n =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy258359473572688792xy2466080

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6
r =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy233337441538642752xy2464050ŷ = 47

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 47?

n = 6ŷ = 47
x =
9.Критерии хи-квадратСредняя
без дефектовнезначительныйзначительныйИтогодневная смена824840ночная смена16303480Итого245442120

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 3
χ² =
10.Критерии хи-квадратСложная
данетИтоголиния 1132740линия 24159100линия 3344680Итого88132220dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2203 × 2α = 0,05
χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3085

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μT = 48 kg, σT = 0,8·√4 = 1,6 kg

Стандартизуйте

z = (48,8 − 48)/1,6 = 0,5

Вероятность

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Ответ

P = 0,3085
2.Нормальное распределение

Ответ: x = 58,26 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 баллов

Ответ

x = 58,26 баллов
3.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,824

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Предельная ошибка

E = 1,812·7/√11 = 3,824

Ответ

E = 3,824
4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2601

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·31/1)² = 2600

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 2601

Ответ

n = 2601
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −0,899

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(19²/30 + 12²/100) = √13,47 = 3,671

Статистика критерия

z = (61 − 64,3)/3,671 = −0,899

Ответ

z = −0,899

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 43

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 1,282)·9/5)² = 42,18

Округлите вверх

n = 43

Ответ

n = 43
7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,965

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 442/6 = 73,67

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1005

Коэффициент корреляции

r = 128/√(17,5·1005) = 0,965

Ответ

r = 0,965
8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 6,626

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 243/6 = 40,5

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53,5

Линия регрессии

b = 53,5/17,5 = 3,057
a = 40,5 − 3,057·4,5 = 26,74
ŷ = 26,74 + 3,057·x

Найдите x

x = (47 − 26,74)/3,057 = 6,626

Ответ

x = 6,626
9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 6,857

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 40·24/120 = 8, 40·54/120 = 18, 40·42/120 = 14
ночная смена: 80·24/120 = 16, 80·54/120 = 36, 80·42/120 = 28

Статистика хи-квадрат

χ² = (8 − 8)²/8 + (24 − 18)²/18 + (8 − 14)²/14 + (16 − 16)²/16 + (30 − 36)²/36 + (34 − 28)²/28
χ² = 6,857

Ответ

χ² = 6,857

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,188

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

линия 1: 16, 24
линия 2: 40, 60
линия 3: 32, 48

Статистика хи-квадрат

χ² = (13 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24 + (41 − 40)²/40 + (59 − 60)²/60 + (34 − 32)²/32 + (46 − 48)²/48
χ² = 1,188

Решение

df = 2, χ²crit = 5,991
1,188 < 5,991

Ответ

χ² = 1,188

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference