Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
502580P = ?

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 502 и 580 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x1 = 502x2 = 580
P =
2.Нормальное распределениеСложная
0,02 mm0D − d?

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
3.Доверительные интервалыСредняя
n = 20, s = 18,5L = ?Ux̄ = 108E99%

Выборка из 20 элементов имеет среднее 108 и стандартное отклонение s = 18,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 20x̄ = 108s = 18,599%t(19) = 2,861
нижняя граница =
4.Доверительные интервалыСложная
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,595%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 15. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 15E = 1,595%
n =
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−2,1312,131t = ?df = 15

16 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 3,2, стандартное отклонение разностей — 6,4. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.

n = 16d̄ = 3,2sd = 6,4
t =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 190%
n =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy124220322419518614xy246152025

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6
r² =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy26496128181024xy5101020x = 9

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 23). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(9, 23)
e =
9.Критерии хи-квадратСредняя
данетИтогомужчины2674100женщины303060Итого56104160

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 2
χ² =
10.Критерии хи-квадратСложная
годнобракИтоголиния 1641680линия 2182240линия 37228100Итого15466220dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2203 × 2α = 0,05
χ² =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,4573

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (502 − 500)/40 = 0,05
z₂ = (580 − 500)/40 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(0,05) = 0,9772 − 0,5199 = 0,4573

Ответ

P = 0,4573
2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8133

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Ответ

P = 0,8133
3.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 96,16

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Предельная ошибка

E = 2,861·18,5/√20 = 11,84

Интервал

108 ± 11,84 → [96,16, 119,8]

Ответ

нижняя граница = 96,16
4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 385

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·15/1,5)² = 384,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 385

Ответ

n = 385
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 6,4/√16 = 1,6

Статистика критерия

t = 3,2/1,6 = 2

Ответ

t = 2

При df = 15 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,131; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 44

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·4/1)² = 43,3

Округлите вверх

n = 44

Ответ

n = 44
7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8358

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 117/6 = 19,5

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 59,5

Коэффициент детерминации

r² = −29,5²/(17,5·59,5) = 0,8358

Ответ

r² = 0,8358

Прямая объясняет около 83,58% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,45

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 69/5 = 13,8

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

Линия регрессии

b = 90/40 = 2,25
a = 13,8 − 2,25·6 = 0,3
ŷ = 0,3 + 2,25·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 0,3 + 2,25·9 = 20,55

Остаток

e = 23 − 20,55 = 2,45

Ответ

e = 2,45

Точка лежит выше прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 9,495

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 100·56/160 = 35, 100·104/160 = 65
женщины: 60·56/160 = 21, 60·104/160 = 39

Статистика хи-квадрат

χ² = (26 − 35)²/35 + (74 − 65)²/65 + (30 − 21)²/21 + (30 − 39)²/39
χ² = 9,495

Ответ

χ² = 9,495

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 15,9

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

линия 1: 56, 24
линия 2: 28, 12
линия 3: 70, 30

Статистика хи-квадрат

χ² = (64 − 56)²/56 + (16 − 24)²/24 + (18 − 28)²/28 + (22 − 12)²/12 + (72 − 70)²/70 + (28 − 30)²/30
χ² = 15,9

Решение

df = 2, χ²crit = 5,991
15,9 > 5,991

Ответ

χ² = 15,9

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference