Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя
200 kg198,6 kgT = X₁ + … + X₈?

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 8 из них меньше 198,6 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8< 198.6 kg
P =
2.Нормальное распределениеСложная
10 cm0X − Y?

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
3.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 83 h, известное стандартное отклонение 17 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 70,5 h, известное стандартное отклонение 10 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 83 hσ₁ = 17 hn₂ = 80x̄₂ = 70,5 hσ₂ = 10 h99%
нижняя граница = h
4.Доверительные интервалыСложная
p ≈ 0,8, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0295%

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,8 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?

p ≈ 0,8E = 0,0295%
n =
5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−2,2622,262t = ?df = 9

10 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 4,1, стандартное отклонение разностей — 10,8. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.

n = 10d̄ = 4,1sd = 10,8
t =
6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −1,9601,96

Выборка из 16 измерений имеет среднее 68,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 68,1σ = 12n = 1695%
L =
7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy344451552651757xy46455055

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5
r² =
8.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy18832196241122713130150xy202530100150ŷ = 140

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 140?

n = 5ŷ = 140
x =
9.Критерии хи-квадратСредняя
низкийсреднийвысокийИтогогород253659120село354837120Итого608496240

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2402 × 3
χ² =
10.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 5 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1611

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μT = 200 kg, σT = 0,5·√8 = 1,414 kg

Стандартизуйте

z = (198,6 − 200)/1,414 = −0,99

Вероятность

P = Φ(−0,99) = 0,1611

Ответ

P = 0,1611
2.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389
3.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 6,155 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 83 − 70,5 = 12,5

Стандартная ошибка

SE = √(17²/60 + 10²/80) = 2,463

Предельная ошибка

E = 2,576·2,463 = 6,345

Интервал

12,5 ± 6,345 → [6,155, 18,84]

Ответ

нижняя граница = 6,155 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

4.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,96²·0,8·0,2/0,02² = 1537

Округлите вверх

n = 1537

Ответ

n = 1537
5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 10,8/√10 = 3,415

Статистика критерия

t = 4,1/3,415 = 1,2

Ответ

t = 1,2

При df = 9 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,262; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 62,22

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,96·12/√16 = 5,88

Граница интервала

L = 68,1 − 5,88 = 62,22

Ответ

L = 62,22
7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,786

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 255/5 = 51

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26
Syy = Σ(y − ȳ)² = 86

Коэффициент детерминации

r² = 26²/(10·86) = 0,786

Ответ

r² = 0,786

Прямая объясняет около 78,6% вариации y.

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 28,54

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 572/5 = 114,4

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 507

Линия регрессии

b = 507/90 = 5,633
a = 114,4 − 5,633·24 = −20,8
ŷ = −20,8 + 5,633·x

Найдите x

x = (140 − (−20,8))/5,633 = 28,54

Ответ

x = 28,54
9.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 8,423

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 120·60/240 = 30, 120·84/240 = 42, 120·96/240 = 48
село: 120·60/240 = 30, 120·84/240 = 42, 120·96/240 = 48

Статистика хи-квадрат

χ² = (25 − 30)²/30 + (36 − 42)²/42 + (59 − 48)²/48 + (35 − 30)²/30 + (48 − 42)²/42 + (37 − 48)²/48
χ² = 8,423

Ответ

χ² = 8,423

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 11,35

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 5 − 1 − 1 = 3

Таблица

χ²crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345

Ответ

χ²crit = 11,345

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference