Статистика 2: Статистический вывод: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 8 из них превышает 197,9 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8> 197,9 kg

P =

2.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

3.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 53,5 и стандартное отклонение s = 15. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 53,5s = 1595%t(8) = 2,306

нижняя граница =

4.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 9 участков, средний урожай 67,5 kg, стандартное отклонение 1 kg. Группа участков 2: 13 участков, среднее 62,5 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 67,5s₁ = 1n₂ = 13x̄₂ = 62,5s₂ = 7,599%t(20) = 2,845

E = kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 503,6 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 503,6s = 12n = 64

t =

6.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 22. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 90%δ = 5σ = 22z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

7.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 117Σx² = 364Σy² = 2759Σxy = 1000

r =

8.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5, 16). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(5, 16)

e =

9.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «село, низкий».

итог по строке = 111итог по столбцу = 55N = 217

E =

10.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 5 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9306

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 200 kg, σ_T = 0,5·√8 = 1,414 kg

Стандартизуйте

z = (197,9 − 200)/1,414 = −1,48

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,48) = 0,9306

Ответ

P = 0,9306

2.Нормальное распределение

Ответ: x = 245,8 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Обратно к x

x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g

Ответ

x = 245,79 g

3.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 41,97

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Предельная ошибка

E = 2,306·15/√9 = 11,53

Интервал

53,5 ± 11,53 → [41,97, 65,03]

Ответ

нижняя граница = 41,97

4.Доверительные интервалы

Ответ: E = 7,209 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (8·1² + 12·7,5²)/20 = 34,15

s_p = 5,844

Предельная ошибка

E = 2,845·5,844·√(1/9 + 1/13) = 7,209

Ответ

E = 7,209 kg

5.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Статистика критерия

t = (503,6 − 500)/1,5 = 2,4

Ответ

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

6.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 253

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 1,282)·22/5)² = 252

Округлите вверх

n = 253

Ответ

n = 253

7.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,99

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1000 − 42·117/6 = 181

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2759 − 117²/6 = 477,5

Коэффициент корреляции

r = 181/√(70·477,5) = 0,99

Ответ

r = 0,99

8.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,55

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 107/5 = 21,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

Линия регрессии

b = 154/40 = 3,85

a = 21,4 − 3,85·6 = −1,7

ŷ = −1,7 + 3,85·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −1,7 + 3,85·5 = 17,55

Остаток

e = 16 − 17,55 = −1,55

Ответ

e = −1,55

Точка лежит ниже прямой.

9.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 28,13

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 111·55/217 = 28,13

Ответ

E = 28,13

10.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 20,09

Степени свободы

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

Таблица

χ²_crit(df = 8, α = 0,01) = 20,090

Ответ

χ²_crit = 20,090

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference