Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 5 mP = 30 kN в 3 mw = 3 kN/m от 0 до 5 m

M_A = kN·m

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 4,5 m от A действует сила P, наклонённая под углом 45° к горизонтали, а на расстоянии 0,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите угол α между полной силой реакции в шарнире A и горизонталью.

L = 6 mP = 10 kN в 4,5 m, θ = 45°Q = 25 kN в 0,5 m

α = °

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2,5 mP = 20 kN в 1 mw = 4 kN/m от 0 до 2,5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mw = 4 kN/m от 0 до 7 m

M_max = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓F: 35 kN →H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 90 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 90 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 127,5 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 3·5 = 15 kN, x̄ = 2,5 m

Момент относительно стены

M_A = P·a + W·x̄ = 30·3 + 15·2,5 = 127,5 kN·m

Ответ

M_A = 127,5 kN·m

2.Опорные реакции балок

Ответ: α = 74,02 °

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

P_v = 10·sin 45° = 7,071 kN

P_h = 10·cos 45° = 7,071 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·6 = 7,071·4,5 + 25·0,5 → R_B = 7,387 kN

A_y = 7,071 + 25 − 7,387 = 24,68 kN

A_x = P_h = 7,071 kN

Направление реакции в A

α = atan(A_y/A_x) = atan(24,68/7,071) = 74,02°

Ответ

α = 74,02°

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −18 kN·m

Оставляем часть со свободным концом

P: −20·0,5 = −10 kN·m

w: −4·2²/2 = −8 kN·m

M_x = −10 − 8 = −18 kN·m

Ответ

M_x = −18 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 41,4 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·7 = 28 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·7·3,5

R_B = 98/10 = 9,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 9,8 = 18,2 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 18,2/4 = 4,55 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 18,2·4,55 − 4·4,55²/2 = 41,4 kN·m

Ответ

M_max = 41,4 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −13,52 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 7,5 = 22,5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,5547 = −13,52 kN

Ответ

F_BC = −13,52 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 46,25 kN (T), BC: 44,17 kN (T), CD: 44,17 kN (T), DE: 42,08 kN (T), FG: 46,25 kN (C), GH: 42,08 kN (C), AF: 14,06 kN (C), HE: 52,6 kN (C), BF: 1,563 kN (C), CG: 0, DH: 21,56 kN (T), BG: 2,604 kN (T), DG: 2,604 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 5,327 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 5,327 mm

Ответ

δ_max = 5,327 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 23,44 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·5000⁴/(384·200000·13,89) = 2,344 × 10⁷ mm⁴

I_req = 23,44 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 23,44 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 27,63 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1000² = 27635 N = 27,63 kN

Ответ

P_cr = 27,63 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 63,5 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 63,5 mm

Ответ

d = 63,5 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 110,2, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis