Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
w0​ = 8 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?3 m2 m

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 8 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 3 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 5 mw0 = 8 kN/mP = 25 kN в 3 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 6 kN/mP = 30 kNABCRB​ = ?5 m2 m1 m2 m

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 8 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 7 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 5 m до свободного конца в точке 10 m. Найдите вертикальную реакцию RB, считая положительным направление вверх.

AB = 8 mAC = 10 mP = 30 kN в 7 mw = 6 kN/m от 5 до 10 m
RB = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
4 kN/m25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

25 kN @ 2 m4 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 12 kN/mP = 60 kNAB7 m3 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент Mmax в балке.

L = 10 mP = 60 kN в 7 mw = 12 kN/m от 0 до 10 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB55 kN8 m1 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABCDEFGH25 kN20 kN20 kN4 × 3 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 25 kN ↓F: 20 kN →G: 20 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент FC
  13. 13элемент HC
7.Прогиб балкиСредняя
P = 6 kNABδ1,5 m2,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от опоры A. Найдите прогиб δP под силой.

P = 6 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 8 kN/mP = 16 kNδL = 5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δmax.

P = 16 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 4 m40 × 100 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 2 md = 40 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 23,33 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·8·5 = 20 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 20·1,667 + 25·3
RB = 21,67 kN
RA = 45 − 21,67 = 23,33 kN

Ответ

RA = 23,33 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 54,38 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 6·5 = 30 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7,5 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·8 = 30·7 + 30·7,5
RB = 435/8 = 54,38 kN
RA = 60 − 54,38 = 5,625 kN

Ответ

RB = 54,38 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 28,67 kN, R2 = 20,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 26,67, MC = 49,33 kN·m, MD = 43, ME = 32,67, MF = 18,33, MG = 0

Ответ

Отметка C: MC = 49,33 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 253,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, приложена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·7 + 12·10·5
RB = 1020/10 = 102 kN
ΣFy = 0: RA = 180 − 102 = 78 kN

Где V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 78/12 = 6,5 m

Наибольший момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 78·6,5 − 12·6,5²/2 = 253,5 kN·m

Ответ

Mmax = 253,5 kN·m

Он достигается при x = 6,5 m от A.

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = −50,73 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·1 → Cy = 6,875 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 6,875 = 48,13 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −48,13/0,9487 = −50,73 kN

Ответ

FAB = −50,73 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 43,75 kN (T), BC: 43,75 kN (T), CD: 21,25 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 42,5 kN (C), AF: 33,59 kN (C), HE: 30,05 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 1,768 kN (C), HC: 30,05 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH
7.Прогиб балки

Ответ: δP = 1,529 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 6000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δP = Pa²b²/(3EIL) = 6000·1500²·2500²/(3·4,6 × 10¹²·4000) = 1,529 mm

Ответ

δP = 1,529 mm
8.Прогиб балки

Ответ: δmax = 60,67 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 16000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(48EI) = 16000·5000³/(48·1,76 × 10¹²) = 23,67 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 36,99 mm

Сложите

δmax = 23,67 + 36,99 = 60,67 mm

Ответ

δmax = 60,67 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 134,3 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2800² = 134280 N = 134,3 kN

Ответ

Pcr = 134,3 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 69,09 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/10 = 100

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Ответ

σcr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis