Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
w = 6 kN/mP = 30 kNABMA​ = ?3 m5 m

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от стены. Найдите величину реактивного момента MA в заделке.

L = 8 mP = 30 kN в 3 mw = 6 kN/m от 0 до 8 m
MA = kN·m
2.Опорные реакции балокСложная
w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​1 m2 m2 m1 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 6 mP = 55 kN в 5 mw = 5 kN/m от 1 до 3 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
w = 10 kN/mP = 60 kNABсечение1 m2 m

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от A. Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 1 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 3 mP = 60 kN в 3 mw = 10 kN/m от 0 до 3 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 3 kN/mABC6 m1 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент Mmax между опорами.

L = 7 mw = 3 kN/m от 0 до 7 mопоры при x = 0 и x = 6 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB15 kN4 m1 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB25 kN25 kN6 m5 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN ←
FAC = kN
7.Прогиб балкиСредняя
P = 15 kNABδ0,5 m3,5 m

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 0,5 m от A. Найдите прогиб δB свободного конца B.

P = 15 kNa = 0,5 mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 8 kN/mδL = 2 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции Ireq, удовлетворяющий этому условию.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 4 md = 80 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
P = 110 kNL = 2 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 110 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 110 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: MA = 282 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию RA и реактивный момент MA. ΣFy = 0 даёт RA, а моменты относительно стены дают MA = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 6·8 = 48 kN, x̄ = 4 m

Момент относительно стены

MA = P·a + W·x̄ = 30·3 + 48·4 = 282 kN·m

Ответ

MA = 282 kN·m
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 15,83 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m2 m2 m1 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, приложена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·5 + 5·2·2
RB = 295/6 = 49,17 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 49,17 = 15,83 kN

Ответ

RA = 15,83 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = −140 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −60·2 = −120 kN·m
w: −10·2²/2 = −20 kN·m
Mx = −120 − 20 = −140 kN·m

Ответ

Mx = −140 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 12,76 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·7 = 21 kN, приложена в x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·7·3,5
RB = 73,5/6 = 12,25 kN
ΣFy = 0: RA = 21 − 12,25 = 8,75 kN

Нулевая поперечная сила

RA − w·x0 = 0 → x0 = 8,75/3 = 2,917 m

Наибольший положительный момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 8,75²/(2·3) = 12,76 kN·m

Ответ

Mmax = 12,76 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 5,625 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·1 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 3,75 = 11,25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,75/0,5547 = −6,76 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−6,76)·0,8321 = 5,625 kN

Ответ

FAC = 5,625 kN (растяжение)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 2,778 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB25 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·5 − 25·3 → Cy = 8,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 8,333 = 16,67 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8,333/0,9487 = −8,784 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−8,784)·0,3162 = 2,778 kN

Ответ

FAC = 2,778 kN (растяжение)
7.Прогиб балки

Ответ: δB = 54,45 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 15000 N, a = 500 mm, L = 4000 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δP = Pa³/(3EI) = 4,735 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,0142 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 54,45 mm

Ответ

δB = 54,45 mm
8.Прогиб балки

Ответ: Ireq = 1,5 × 10⁶ mm⁴

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Ограничение прогиба

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,5 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ireq = 1,5 × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 248,1 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

Ответ

Pcr = 248,1 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 48,56 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 2,5·110000 = 275000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 48,56 mm

Ответ

d = 48,56 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 115,3, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis