Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P = 75 kNM = 25 kN·mABRB​ = ?1 m5 m2 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 6 m от A. Найдите вертикальную реакцию RB, считая положительным направление вверх.

L = 8 mP = 75 kN в 1 mM = 25 kN·m (по часовой стрелке) в 6 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w0​ = 15 kN/mP = 75 kNABMA​ = ?2 m3 m

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой интенсивностью 15 kN/m у стены, убывающей до нуля на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от стены. Найдите величину реактивного момента MA в заделке.

L = 5 mw0 = 15 kN/mP = 75 kN в 2 m
MA = kN·m
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
P1​ = 25 kNP2​ = 15 kNABC4 m4 m2 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P1 между опорами и сосредоточенной силой P2 в C. Найдите поперечную силу Vx сразу слева от опоры B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP1 = 25 kN в 4 mP2 = 15 kN в 10 mопоры при x = 0 и x = 8 m
Vx = kN
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 10 kN/mABC4 m2 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент Mmax между опорами.

L = 6 mw = 10 kN/m от 0 до 6 mопоры при x = 0 и x = 4 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH25 kN15 kN4 × 4 m4 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

F: 25 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABCDEFGH15 kN15 kN20 kN30 kN25 kN4 × 4 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓D: 15 kN ↓F: 20 kN ↓H: 30 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
7.Прогиб балкиСредняя
w = 15 kN/mABθ5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θA сечения балки на опоре A в радианах.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Прогиб балкиСложная
w = 20 kN/mP = 8 kNδL = 4 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δmax.

P = 8 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 6 md = 40 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 5 md = 40 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 12,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣMA = 0: RB·8 − 75·1 − 25 = 0
RB = 100/8 = 12,5 kN

Равновесие по вертикали

RA = 75 − 12,5 = 62,5 kN

Ответ

RB = 12,5 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: MA = 212,5 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию RA и реактивный момент MA. ΣFy = 0 даёт RA, а моменты относительно стены дают MA = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·15·5 = 37,5 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Момент относительно стены

MA = W·x̄ + P·a = 37,5·1,667 + 75·2 = 212,5 kN·m

Ответ

MA = 212,5 kN·m
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Vx = −16,25 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣMA = 0: RB·8 = 25·4 + 15·10
RB = 250/8 = 31,25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 31,25 = 8,75 kN

Сечение сразу слева от B, оставляем левую часть

Vx = RA − P1 = 8,75 − 25 = −16,25 kN

Ответ

Vx = −16,25 kN
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 11,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·6·3
RB = 180/4 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 45 = 15 kN

Нулевая поперечная сила

RA − w·x0 = 0 → x0 = 15/10 = 1,5 m

Наибольший положительный момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 15²/(2·10) = 11,25 kN·m

Ответ

Mmax = 11,25 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 22,5 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 17,5 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 17,5 kN (C), AF: 31,82 kN (C), HE: 24,75 kN (C), BF: 2,5 kN (C), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 3,536 kN (T), DG: 3,536 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 31,25 kN (T), BC: 40,83 kN (T), CD: 40,83 kN (T), DE: 50,42 kN (T), FG: 56,25 kN (C), GH: 75,42 kN (C), AF: 70,31 kN (C), HE: 63,02 kN (C), BF: 22,19 kN (T), CG: 0, DH: 7,813 kN (T), BG: 11,98 kN (C), DG: 11,98 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG
7.Прогиб балки

Ответ: θA = 0,00465 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Угол поворота на конце

θA = wL³/(24EI) = 15·5000³/(24·1,68 × 10¹³) = 0,00465 rad

Ответ

θA = 0,00465 rad

Это 0,2664°.

8.Прогиб балки

Ответ: δmax = 48,03 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 8000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(48EI) = 8000·4000³/(48·1,61 × 10¹²) = 6,625 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 41,41 mm

Сложите

δmax = 6,625 + 41,41 = 48,03 mm

Ответ

δmax = 48,03 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 6,89 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6,89 kN

Ответ

Pcr = 6,89 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 1,974 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/10 = 1000

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1,974 MPa

Ответ

σcr = 1,974 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis