Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
w0​ = 4 kN/mP = 75 kNABRA​ = ?4,5 m0,5 m

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 4 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 4,5 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.

L = 5 mw0 = 4 kN/mP = 75 kN в 4,5 m
RA = kN
2.Опорные реакции балокСложная
w = 3 kN/mP = 35 kNQ = 35 kNADCRD​ = ?3 m1 m3 m1 m

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 4 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 8 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 7 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD и сосредоточенной силой Q на расстоянии 3 m от A. Найдите реакцию RD подвижной опоры.

AC = 4 mAD = 8 mP = 35 kN в 7 mw = 3 kN/m от 4 до 8 mQ = 35 kN в 3 m
RD = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
w = 4 kN/mABсечение2 m4 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 4 kN/m от 0 до 6 mx = 2 m
Mx = kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 4 kN/mP = 15 kNAB3,5 m2,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент Mmax в балке.

L = 6 mP = 15 kN в 3,5 mw = 4 kN/m от 0 до 6 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH30 kN25 kN4 × 4 m4 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 30 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABCDEFGH10 kN40 kN20 kN10 kN25 kN4 × 3 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 10 kN ↓F: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 10 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
7.Прогиб балкиСредняя
w = 15 kN/mABθ5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θA сечения балки на опоре A в радианах.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Прогиб балкиСложная
w = 12 kN/mP = 2 kNδL = 4 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δmax.

P = 2 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 5 md = 40 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 2 md = 30 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 14,17 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·4·5 = 10 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 10·1,667 + 75·4,5
RB = 70,83 kN
RA = 85 − 70,83 = 14,17 kN

Ответ

RA = 14,17 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RD = 32,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

W = 3·4 = 12 kN в 2 m от C
ΣMC = 0: RD·4 = 35·3 + 12·2
RD = 32,25 kN
VC = 47 − 32,25 = 14,75 kN

Ответ

RD = 32,25 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 16 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·6·3
RB = 72/6 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 12RB​ = 12сечение2 m4 m

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 12·2 − 4·2·1 = 16 kN·m

Ответ

Mx = 16 kN·m
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 39,38 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·3,5 + 4·6·3
RB = 124,5/6 = 20,75 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 20,75 = 18,25 kN

Где V = 0?

V(3,5⁻) = RA − w·3,5 = 4,25 kN
V(3,5⁺) = 4,25 − 15 = −10,75 kN
Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

Mmax = RA·3,5 − w·3,5²/2 = 18,25·3,5 − 4·3,5²/2 = 39,38 kN·m

Ответ

Mmax = 39,38 kN·m

Он достигается при x = 3,5 m от A.

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 28,75 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 26,25 kN (T), FG: 28,75 kN (C), GH: 26,25 kN (C), AF: 40,66 kN (C), HE: 37,12 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 1,25 kN (T), BG: 1,768 kN (T), DG: 1,768 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 31,25 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 56,25 kN (C), GH: 48,75 kN (C), AF: 79,55 kN (C), HE: 33,59 kN (C), BF: 16,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 8,839 kN (C), DG: 19,45 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
7.Прогиб балки

Ответ: θA = 0,01329 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θA = wL³/(24EI) = 15·5000³/(24·5,88 × 10¹²) = 0,01329 rad

Ответ

θA = 0,01329 rad

Это 0,7613°.

8.Прогиб балки

Ответ: δmax = 68,05 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 2000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δP = PL³/(48EI) = 2000·4000³/(48·6,27 × 10¹¹) = 4,253 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 63,8 mm

Сложите

δmax = 4,253 + 63,8 = 68,05 mm

Ответ

δmax = 68,05 mm
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 2,481 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·5000 = 10000 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/10000² = 2481 N = 2,481 kN

Ответ

Pcr = 2,481 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 6,94 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Ответ

σcr = 6,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis