Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 50 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m1 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 4 mP1 = 50 kN в 2 mP2 = 45 kN в 3 m
RB = kN
2.Опорные реакции балокСложная
P = 70 kN, 45°Q = 50 kNABRA​ = ?1,5 m3,5 m1 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 5 m от A действует сила P, наклонённая под углом 45° к горизонтали, а на расстоянии 1,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции RA в шарнире A.

L = 6 mP = 70 kN в 5 m, θ = 45°Q = 50 kN в 1,5 m
RA = kN
3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
P1​ = 45 kNP2​ = 70 kNABC2 m6 m1 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P1 между опорами и сосредоточенной силой P2 в C. Найдите поперечную силу Vx сразу слева от опоры B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 9 mP1 = 45 kN в 2 mP2 = 70 kN в 9 mопоры при x = 0 и x = 8 m
Vx = kN
4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 4 kN/mABC4 m1,5 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент Mmax между опорами.

L = 5,5 mw = 4 kN/m от 0 до 5,5 mопоры при x = 0 и x = 4 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB40 kN4 m3 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABCDEFGH40 kN20 kN35 kN35 kN4 × 3 m4 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

F: 40 kN ↓F: 20 kN →G: 35 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
7.Прогиб балкиСредняя
w = 5 kN/mδL = 2,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δmax в середине пролёта.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогиб балкиСложная
w = 20 kN/mδL = 1,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции Ireq, удовлетворяющий этому условию.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колоннСредняя
PL = 1,5 m40 × 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Устойчивость колоннСложная
PL = 6 md = 80 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σcr по формуле Эйлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
σcr = MPa

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 58,75 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 50 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​2 m1 m1 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 45·3
RB = 235/4 = 58,75 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 58,75 = 36,25 kN

Ответ

RB = 58,75 kN
2.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 67,4 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

Pv = 70·sin 45° = 49,5 kN
Ph = 70·cos 45° = 49,5 kN

Реакции

ΣMA = 0: RB·6 = 49,5·5 + 50·1,5 → RB = 53,75 kN
Ay = 49,5 + 50 − 53,75 = 45,75 kN
Ax = Ph = 49,5 kN

Равнодействующая реакция в A

RA = √(49,5² + 45,75²) = 67,4 kN

Ответ

RA = 67,4 kN
3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Vx = −20 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣMA = 0: RB·8 = 45·2 + 70·9
RB = 720/8 = 90 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 90 = 25 kN

Сечение сразу слева от B, оставляем левую часть

Vx = RA − P1 = 25 − 45 = −20 kN

Ответ

Vx = −20 kN
4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 5,908 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·5,5 = 22 kN, приложена в x̄ = 2,75 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·5,5·2,75
RB = 60,5/4 = 15,13 kN
ΣFy = 0: RA = 22 − 15,13 = 6,875 kN

Нулевая поперечная сила

RA − w·x0 = 0 → x0 = 6,875/4 = 1,719 m

Наибольший положительный момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 6,875²/(2·4) = 5,908 kN·m

Ответ

Mmax = 5,908 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAB = −14,14 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 30 = 10 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0,7071 = −14,14 kN

Ответ

FAB = −14,14 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 57,19 kN (T), BC: 64,37 kN (T), CD: 64,37 kN (T), DE: 45,31 kN (T), FG: 57,19 kN (C), GH: 45,31 kN (C), AF: 61,98 kN (C), HE: 75,52 kN (C), BF: 9,583 kN (T), CG: 0, DH: 25,42 kN (T), BG: 11,98 kN (C), DG: 31,77 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
7.Прогиб балки

Ответ: δmax = 4,274 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 4,274 mm

Ответ

δmax = 4,274 mm
8.Прогиб балки

Ответ: Ireq = 28,76 × 10⁶ mm⁴

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Ограничение прогиба

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,876 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 28,76 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ireq = 28,76 × 10⁶ mm⁴
9.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 81,88 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1500² = 81881 N = 81,88 kN

Ответ

Pcr = 81,88 kN
10.Устойчивость колонн

Ответ: σcr = 87,73 MPa

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150

Критическое напряжение

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Ответ

σcr = 87,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis