Строительная механика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP₁ = 20 kN в 3 mP₂ = 40 kN в 4 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 2,5 m до свободного конца в точке 6 m. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 4 mAC = 6 mP = 25 kN в 2,5 mw = 6 kN/m от 2,5 до 6 m

R_B = kN

3.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 25 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 8 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mM₀ = 25 kN·m по часовой стрелке, в точке 8 m

M_x = kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mw = 24 kN/m от 3 до 9 m

M_max = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →

F_BC = kN

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя равными сосредоточенными силами P в третях пролёта (на расстоянии L/3 от каждой опоры). Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине пролёта δ_max.

P = 15 kNL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 20 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 20 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 16 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3 + 40·4

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 44 = 16 kN

Ответ

R_A = 16 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 37,94 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 6·3,5 = 21 kN, x̄ = (2,5 + 6)/2 = 4,25 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2,5 + 21·4,25

R_B = 151,8/4 = 37,94 kN

R_A = 46 − 37,94 = 8,063 kN

Ответ

R_B = 37,94 kN

3.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −20 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/10 = 2,5 kN (вверх)

R_A = −R_B = −2,5 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −2,5·8 = −20 kN·m

Ответ

M_x = −20 kN·m

4.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 241,9 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 24·6 = 144 kN, приложена в x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 24·6·6

R_B = 864/10 = 86,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 144 − 86,4 = 57,6 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 57,6/24 = 5,4 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 57,6·5,4 − 24·2,4²/2 = 241,9 kN·m

Ответ

M_max = 241,9 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −6,76 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·2 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3,75 = 11,25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,75/0,5547 = −6,76 kN

Ответ

F_BC = −6,76 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −29,81 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·2 + 30·2 → C_y = 13,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 13,33 = −3,333 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Узел C

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,33/0,4472 = −29,81 kN

Ответ

F_BC = −29,81 kN (сжатие)

7.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,02785 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 4·2500³/(24·9,35 × 10¹⁰) = 0,02785 rad

Ответ

θ_A = 0,02785 rad

Это 1,596°.

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 19,36 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 15000 N, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Одна сила в точке L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 9,68 mm

Складываем обе силы

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 19,36 mm

Ответ

δ_max = 19,36 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 3,312 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·4000 = 8000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/8000² = 3312 N = 3,312 kN

Ответ

P_cr = 3,312 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 46,94 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 46,94 mm

Ответ

d = 46,94 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 238,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis